Voor een vlakke graaf:
(1) Trianguleer alle veelhoeken in de graaf: elke lijn die we toevoegen splitst daarbij het betreffende vlak in 2 vlakken: zo komen er steeds 1 ribbe en 1 vlak bij,
χ = H - R + V verandert daardoor niet
(2) Herhaal het volgende totdat er 1 driehoek overblijft:
Kies een driehoek grenzend aan het buitengebied:
(2a) heeft die driehoek 1 ribbe die grenst aan het buitengebied: verwijder dan die ribbe: zo verdwijnt er 1 ribbe en 1 vlak:
χ = H - R + V verandert daardoor niet
(2b) heeft die driehoek 2 ribben grenzend aan het buitengebied: verwijder dan die 2 zijden en het hoekpunt dat die 2 zijden verbindt: zo verdwijnen er 2 ribben, 1 hoekpunt en 1 vlak:
χ = H - R + V verandert daardoor niet
(3) Tenslotte blijft er een driehoek over met 3 hoeken, 3 ribben, en 1 vlak (het buitengebied rekenen we doorgaans niet mee).
Hierdoor is χ = 3 - 3 + 1 = 1.
En omdat we de Eulerkarakteristiek in het hele proces nergens veranderd hebben, is deze karakteristiek ook 1 voor de oorspronkelijke graaf.
In een plaatje:
Stap 1:
In uw graaf (A) splitsen we de blauwe vijfhoek (B) door toevoeging van de rode lijn in een gele driehoek en een groene vierhoek (C).
Dit proces herhalen we totdat de graaf volledig getrianguleerd is (D).
Stap 2: kies een driehoek:
Kies bijvoorbeeld de groene buitendriehoek (E) met 1 zijde (donkergroen) gemeenschappelijk met het buitengebied: deze zijde verwijderen we waardoor het groene vlak verdwijnt/opgaat in het buitengebied (F)
Herhaling stap 2: kies een driehoek:
Kies bijvoorbeeld de blauwe buitendriehoek (G) met 2 zijden (donkerblauw) gemeenschappelijk met het buitengebied: deze 2 zijden en hun verbindende hoekpunt (punt 4 in uw oorspronkelijke tekening) verwijderen we waardoor het blauwe vlak verdwijnt in het buitengebied (H)
Ga zo door totdat er één driehoek overblijft.
PS: het gaat om het
aantal lijnen, het maakt dus niet uit of dat bv. rechte, gebogen, golvende, dikke of dunne lijnen zijn.
