Wetenschapsquiz: overhangende tegels

door **SjeSja** » wo 08 mar 2006, 23:16

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = SIGMA (k van 1 tot oneindig) 1/2^k

Dit is een meetkundige reeks met reden q = 1/2

De som van de eerste n termen (Sn) van zo'n reeks wordt gegeven door:

Sn = t1 * {[1-q^n] / [1-q]}

Voor bovenstaande reeks wordt dit:

t1 = 1/2 (dit is de eerste term)

q = 1/2 (dit is de reden ofte het quotiënt tussen een term en de term daarvoor)

Sn = (1/2) * {[1-(1/2)^n] / [1-(1/2)]}

Sn = (1/2) * {[1-(1/2)^n] / [1/2]}

Sn = 1-(1/2)^n

Wanneer we nu alle termen uit de reeks wensen op t tellen betekent dit dat n oneidig wordt: een toepassing voor limietrekenen.

lim (n gaat naar oneindig) Sn

= lim (n gaat naar oneindig) 1-(1/2)^n

= 1 - lim (n gaat naar oneindig) (1/2)^n {van n onafhankelijke termen en factoren mogen buiten de limiet worden gezet}

= 1 - 0 {het resultaat van een getal kleiner dan 1 verhoffen tot een steeds grotere macht neigt naar 0}

= 1

Qed

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... = SIGMA (k van 1 tot oneindig) 1/2*k

Dit is noch een rekenkundige noch een meetkundige reeks.

Met behulp van computer of programmeerbaar rekentoestel is het een voudig een lus te laten berekenen. De som de termen uit deze reeks is niet eindig. Het resultaat van dat lusrekenen wordt steeds groter.

door **wombat** » wo 08 mar 2006, 19:32

aadkr schreef:Deze opgave is volgens mij behandeld in de nationale wetenschapkwis

Deze opgave staat ook in het natuurkundeboek SCOOP 5/6 voor het vwo

Bij 3 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 ) .L

Bij 4 stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 ) .L

Bij 5 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ) .L

...........................

...........................

Bij n stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ......+ 1/ [2.(n-1)] ) .L

Oversteek= Algebraische sommatie van 1/[2.(k-1)] voor k=2 tot n en dit keer L

Oversteek = 1/2 .L . Algebraische sommatie van 1/(k-1) voor k=2 tot n

= 1/2 .L . Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

Als we het aantal stenen (n) tot oneindig laten naderen, dan wordt de oversteek ook oneindig groot omdat Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

voor n=> oneindig ook naar + oneindig nadert.

De som (sigma) van k=2 naar oneindig van (1/2)^(k-1) =1/2+1/4+1/8+....=1

Op de pc in Excel kan je het ook even uitproberen, even 0.5 in een cel intikken en dan in de volgende cel de helft van de voorgaande, dat is een kleine formule.

Als je die reeks even over pakweg 80-100 regels herhaal, even de copieeerfunctie of iets dergelijks toepassen. Nadat je met autosom opgeteld hebt dan is de som van het geheel kleiner dan 1.

Gr,

Henk

door **aadkr** » wo 08 mar 2006, 01:29

Deze opgave is volgens mij behandeld in de nationale wetenschapkwis

Deze opgave staat ook in het natuurkundeboek SCOOP 5/6 voor het vwo

Bij 3 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 ) .L

Bij 4 stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 ) .L

Bij 5 stenen : Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 ) .L

...........................

...........................

Bij n stenen: Oversteek = ( 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ......+ 1/ [2.(n-1)] ) .L

Oversteek= Algebraische sommatie van 1/[2.(k-1)] voor k=2 tot n en dit keer L

Oversteek = 1/2 .L . Algebraische sommatie van 1/(k-1) voor k=2 tot n

= 1/2 .L . Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

Als we het aantal stenen (n) tot oneindig laten naderen, dan wordt de oversteek ook oneindig groot omdat Algebraische sommatie 1/k voor k=1 tot (n-1)

voor n=> oneindig ook naar + oneindig nadert.

door **wombat** » di 07 mar 2006, 21:06

StrangeQuark schreef:Deze serie gaat absoluut naar oneindig.
1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat niet naar oneindig. Dit gaat naar 1.

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... gaat wel naar oneindig.

Zonder rekenen, dit gaat bijna naar 1.

Je start bij 0.

Je legt steeds de halve afstand af naar 1. Je gaat dus richting 1.

Als je steeds de helft van het resterende gedeelte aflegt kom je nooit bij 1 .

Gr,

henk

door **EvilBro** » zo 15 jan 2006, 10:03

Deze serie gaat absoluut naar oneindig.

1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat niet naar oneindig. Dit gaat naar 1.

1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... gaat wel naar oneindig.

door **StrangeQuark** » zo 15 jan 2006, 09:41

stay anti schreef:de beruchte stoeptegel gate

Het kan aan mij liggen maar 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat toch nooit naar oneindig ?? hij gaat naar oneindig hoog maar niet naar oneindig ver overhellend...

Deze serie gaat absoluut naar oneindig.

door **Jan van de Velde** » zo 15 jan 2006, 02:22

Tussen twee haakjes, is dit tegeltjesverhaal eigenlijk het principe van de Gothische boog?

Afbeelding

door **Jan van de Velde** » ma 02 jan 2006, 17:21

Om te voorkomen dat ik met "smoezen" als die van Miels

moest komen heb ik een reactie hier maar een weekje uitgesteld, zoekende naar een elegante manier om het uit te rekenen.

Ik raakte een beetje de weg kwijt in die breuken en ben maar eens een excel-bestandje gestart met een tegel van 24 kolommetjes breed, in elk kolommetje een 1-tje geplaatst voor de massa van dat vierentwintigste deel van die tegel. Daaronder net zo'n tegel, 12 blokjes verschoven, daaronder weer een, nog eens 6 blokjes verder, nog een nog eens 4blokjes verder, dan nog een nog eens 3 blokjes verder. (1/2 +1/4+1/6+1/8 )

IN elk kolommetje de massa opgeteld en vermenigvuldigd met de afstand tot de "as". En dan de momenten uit elk kolommetje opgeteld, apart voor links en rechts.

De bovenste tegel hangt nu dus inmiddels 25/24 tegel over, en het evenwicht klopt nog als een zwerende vinger.

Een tiende deel van 24 kolommetjes opschuiven lukt niet best, maar bij benadering blijft het kloppen

Ik vind dit NIET leuk. Dit is nu al de zoveelste keer

dat mijn intuitie voor gaas gaat.....

door **Miels** » ma 02 jan 2006, 17:09

Hmm, misschien had ik de vraag niet goed gelezen (ouch... Voorwaarde 1 voor een goede oplossing). Ik had bedacht dat iedere tegel de helft van de tegellengte uit stak, dus allemaal zoals tegen 1 en 2 in je tekening.

door **Kris Hauchecorne** » ma 02 jan 2006, 16:49

De kwestie is dat het bovenste blokje voor de helft op het tweede blokje moet liggen. Het zwaartepunt van die twee blokjes samen moet op de rand van het derde blokje liggen. Het zwaartepunt van de bovenste drie blokjes moet boven de rand van het vierde blokje liggen. Enzovoort. Als je het op die manier uitrekend kom je er.

Als het zwaartepunt van het eerste blokje op x = 0 ligt, ligt het tweede blokje op x=1/2; het derde op (0+1/2)/2+1/2=3/4; het vierde blokje op (0+1/2+3/4)/3+1/2=11/12 en het vijfde blokje op 25/24 (gemiddelde van de vorige blokjes +1/2) wat al een overhang van meer dan één blokje is.

Ik had hem ook fout. ik was uitgegaan van een schuine toren. Die zou omvallen omdat zijn zwaartepunt voorbij de rand van het onderste blokje komt. Bij deze stapeling gebeurt dat nooit en kan je dus oneindig doorgaan. In excel zie je dat je al vlug voorbij de twee komt ook.

door **Jan van de Velde** » ma 02 jan 2006, 16:00

oneindig en ruim voorbij de 1 is wel een groot verschil

Ja, maar voor mijn intuitie maakt dat niet uit, omdat mijn intuitie beweert dat voorbij de 1 niet zal lukken.

Hoe dan ook, ik zal de onderste steen nog boven krijgen......

door **stay anti** » ma 02 jan 2006, 15:58

oneindig en ruim voorbij de 1 is wel een groot verschil

door **Jan van de Velde** » ma 02 jan 2006, 15:51

http://sciencetalk.nl/forum/invision/in...showtopic=18056

Hier spreekt collega Bart van 1/2 + 1/4 +1/6+ 1/8 +1/10 +1/12+ enz, en dat gaat wel naar oneindig volgens mij, of althans ruim voorbij de 1.

Ik moet overigens toegeven dat ik er ook nog niet uit ben. Ik moet nog eens een snelle rekenmethode ontwikkelen om te checken of de totale momenten inderdaad in evenwicht blijven. Mijn intuitie zegt me van niet, maar die intuitie laat me wel vaker in de steek...

(en dus heb ik me nog niet met die discussie bemoeid verder

)

door **stay anti** » ma 02 jan 2006, 15:45

de beruchte stoeptegel gate

Het kan aan mij liggen maar 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gaat toch nooit naar oneindig ?? hij gaat naar oneindig hoog maar niet naar oneindig ver overhellend...

door **Bart** » wo 28 dec 2005, 21:33

Miels, ik werk ook helemaal niet met lijm. Het draaipunt is steeds de rand van een tegel en je moet bij alle draaipunten (behalve van de bovenste tegel, want daar ligt geen tegel meer bovenop) controleren of het moment nul is.

Afbeelding

Tegel 1 helt een halve lengte over tegel 2.

Tegel 2 helt een kwart lengte over tegel 3

Tegel 3 helt een 1/6 lengte over tegel 4

Het netto moment op tegel 2 is 0, omdat het zwaartepunt van tegel 1 precies boven het draaipunt (de rand van tegel 2) ligt.

Het zwaartepunt van tegel 2 ligt -1/4 van het draaipunt op tegel 3. Tegel 1 heeft het zwaartepunt op +1/4 afstand van datzelfde draaipunt. Nettomoment=0

Het zwaartepunt van tegel 3 ligt op 1/6-1/2=-4/12 afstand van het draaipunt van tegel 4. Het zwaartepunt van tegel 2 ligt op 1/6+1/4-1/2=-1/12 afstand van datzelfde draaipunjt en voor tegel 1 is dit 1/6+1/4=5/12

-4/12-1/12+5/12 = 0 en dus weer is het moment nul.

Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Plaats een reactie

Weergave uitklappen Voorafgaande berichten: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Re: Wetenschapsquiz: overhangende tegels

Contact

Community