Ik kwam dit topic toevallig tegen en zag dat er nog geen correcte oplossing is gegeven. Voor de duidelijkheid, de stroom I loopt wel degelijk in de lengterichting, loodrecht op een dwarsdoorsnede.
Waar het misging, is het berekenen van het B-veld. Buiten de draad is het B-veld
\(\frac{\mu_0 I}{2\pi s}\)
, heel simpel met de Ampere-wet: B is gericht in cirkels om de draad, neem als Ampere-lus een concentrische cirkel met straal s>a, dan geldt
\(\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=BA=B(2\pi s)=\mu_0 I_{enc}\)
. Met zo'n cirkel (s>a) is
\(I_{enc}=I\)
waaruit het B-veld volgt.
Binnen de draad, s<a, niet, en dat is juist het gebied waarover het gaat in deze opgave. I_enc is hier natuurlijk verschillend. I is uniform over het dwardoppervlak verdeeld, dus
\(J=\frac{I}{\pi a^2}\)
(stroomdichtheid).
Dus nu geldt
\(I_{enc}=\int \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}=JA=\frac{I}{\pi a^2}\cdot\pi s^2=\frac{Is^2}{a^2}\)
Dus
\(B(2\pi s)=\mu_0 I_{enc}\Rightarrow B=\frac{\mu_0 Is}{2\pi a^2}\)
Nu is de magnetische energie per volume-eenheid
\(w=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{\mu_0 I^2 s^2}{8\pi^2 a^4}\)
(s<a)
Totale energie binnen cilinder met lengte L:
\(W=\int w d\tau=\int w sdsd\theta dh\)
\(=\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2}\int_0^L\int_0^{2\pi}\int_{s=0}^{s=a} \frac{s^3}{a^4} dsd\theta dh\)
\(=\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2}2\pi L\int _{s=0}^{s=a} \frac{s^3}{a^4} ds\)
\(=\frac{\mu_0 I^2L}{4\pi}\left[\frac{s^4}{4a^4}\right]_0^a=\frac{\mu_0 I^2L}{4\pi}\left[\frac{1}{4}\right]=\frac{\mu_0 I^2L}{16\pi} \)
Delen door L (energie per lengte-eenheid) geeft het goede antwoord.
Ik kwam dit topic toevallig tegen en zag dat er nog geen correcte oplossing is gegeven. Voor de duidelijkheid, de stroom I loopt wel degelijk in de lengterichting, loodrecht op een dwarsdoorsnede.
Waar het misging, is het berekenen van het B-veld. Buiten de draad is het B-veld [tex]\frac{\mu_0 I}{2\pi s}[/tex], heel simpel met de Ampere-wet: B is gericht in cirkels om de draad, neem als Ampere-lus een concentrische cirkel met straal s>a, dan geldt [tex]\int \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=BA=B(2\pi s)=\mu_0 I_{enc}[/tex]. Met zo'n cirkel (s>a) is [tex]I_{enc}=I[/tex] waaruit het B-veld volgt.
Binnen de draad, s<a, niet, en dat is juist het gebied waarover het gaat in deze opgave. I_enc is hier natuurlijk verschillend. I is uniform over het dwardoppervlak verdeeld, dus [tex]J=\frac{I}{\pi a^2}[/tex] (stroomdichtheid).
Dus nu geldt [tex]I_{enc}=\int \mathbf{J}\cdot d\mathbf{a}=JA=\frac{I}{\pi a^2}\cdot\pi s^2=\frac{Is^2}{a^2}[/tex]
Dus [tex]B(2\pi s)=\mu_0 I_{enc}\Rightarrow B=\frac{\mu_0 Is}{2\pi a^2}[/tex]
Nu is de magnetische energie per volume-eenheid [tex]w=\frac{B^2}{2\mu_0}=\frac{\mu_0 I^2 s^2}{8\pi^2 a^4}[/tex] (s<a)
Totale energie binnen cilinder met lengte L: [tex]W=\int w d\tau=\int w sdsd\theta dh[/tex]
[tex]=\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2}\int_0^L\int_0^{2\pi}\int_{s=0}^{s=a} \frac{s^3}{a^4} dsd\theta dh[/tex]
[tex]=\frac{\mu_0 I^2}{8\pi^2}2\pi L\int _{s=0}^{s=a} \frac{s^3}{a^4} ds[/tex]
[tex]=\frac{\mu_0 I^2L}{4\pi}\left[\frac{s^4}{4a^4}\right]_0^a=\frac{\mu_0 I^2L}{4\pi}\left[\frac{1}{4}\right]=\frac{\mu_0 I^2L}{16\pi} [/tex]
Delen door L (energie per lengte-eenheid) geeft het goede antwoord.
