[quote]ik moet nu ook wel fronsen bij sommige van m'n oudere posts :D [/quote]

Dat heb ik ook... dat ik moet fronsen bij sommige van jouw oudere posts. :D

Dat is normaal: ik moet nu ook wel fronsen bij sommige van m'n oudere posts :D

Hihi. Ik lees nu terug wat ik een jaar geleden heb gepost, en ik schaam me een beetje... :D

Ik heb nu laatst pas geleerd wat axioma's nou werkelijk inhouden, en ik heb een klein beetje meer inzicht gekregen in wat nou eigenlijk wiskunde is. En bovendien heb ik nu door wat 'consistent' betekent.... Dus ik snap nu wel wat er hierboven steeds is geprobeerd uit te leggen...

Sorry voor de mensen die ik geïrriteerd heb! :D

Wiskunde is helelmaal niet klar met nieuwe dingen te vinden.

Onze docent doet continue onderzoek in de incidentiemeetkunde

Ik vind dat wel een mooie conclusie. Ik denk dat ik genoeg heb gehoord... Hartelijk dank [b]iedereen[/b]!

[quote='FlorianK' post='296738']Maar die nieuwe axioma's mogen dus niet de oude vervangen/tegenspreken...?

Maar waar ik een beetje mee zit... Ik weet niet zo goed wat ik van deze discussie moet denken.. Ik vind het een beetje moeilijk te bedenken wie er nu gelijk heeft (over de kwestie 'de wijzigbaarheid ( :) ) van wiskunde' en 'het vertrouwen dat we in de wiskunde moeten hebben')... Moet ik Hubris geloven, die op mij betrouwbaar overkomt... Of jij, die op mij betrouwbaar overkomt...?

Wat ik nu als waarheid aanneem, daarvan is de kans groot dat ik dat over een heul aantal jaren nog steeds als waarheid zie. Daarom ben ik een beetje huiverig om zomaar aan te nemen wat je zegt... Als je begrijpt wat ik bedoel.[/quote]

Je kan met andere axioma's, een "andere wiskunde" opbouwen. Het is nog maar de vraag in hoeverre die nuttig zou zijn.

De reële getallen waarmee we werken, blijken nuttig. Zoals het systeem nu opgebouwd is, is het consistent. Binnen dat systeem kun je deling door 0 niet zinnig definiëren. Deling door 0 is op zich niet onmogelijk, maar dat moet dat in een andere structuur, zie bijvoorbeeld [url=http://www.math.su.se/~jesper/research/wheels/wheels.pdf]wheel[/url].

Als je iets van functies en limieten kent, dan kom je wel eens de onbepaalde vorm 0/0 tegen, zoals ook [itex]\infty / \infty[/itex]. Stel je wil kijken wat de functie f(x) = x/x doet in de buurt van 0. In 0 zelf, bestaat f(x) niet omdat je niet mag delen door 0. Maar de limiet van f(x) voor x gaande naar 0 is 1, omdat x/x = 1 voor x willekeurig dicht bij 0. Je zou hierdoor geneigd kunnen zijn die 0/0 te definiëren als 1.

Maar, bekijken we nu een tweede functie g(x) = x²/x. In x = 0 zelf zouden we weer 0/0 krijgen, daar is g(x) dan ook niet gedefinieerd. Maar de limiet van g(x) voor x gaande 0 bestaat wel en is gelijk aan 0, omdat x²/x gelijk is aan x, voor x willekeurig dicht bij 0. Of h(x) = x/x³: ook hier 0/0 maar de functie gaat naar oneindig als x naar 0 gaat.

In deze context is 0/0 een onbepaalde vorm, waarvoor de limiet nog eender wat kan worden, afhankelijk van [i]hoe[/i] je aan die 0 in teller en noemer geraakt bent.

Dat terzijde, want als je niet met functies en limieten bezig bent en je bekijkt gewoon de uitdrukking "0/0", dan valt daar niets zinnigs over te vertellen. Althans, niet binnen de (gebruikelijke) wiskunde zoals ze nu is opgebouwd, in dit geval hebben we het dan over de reële getallen en de operatie delen (vermenigvuldigen in feite).

[quote]Maar die nieuwe axioma's mogen dus niet de oude vervangen/tegenspreken...?[/quote]

Op het moment dat je axioma's vervangt ga je andere wiskunde bedrijven. Hier is niks op tegen, het is alleen niet zo dat de oude regels fout waren (ze waren enkel anders).

[quote]Dat ligt echter aan jouw interpretatie van wat wij zeggen.[/quote]

Daar was ik al bang voor... Daarom had ik expres '..komen op mij over...' neergezet.

[quote]Je kan nieuwe axioma's verzinnen en dus ook nieuwe wiskunde.[/quote]

Maar die nieuwe axioma's mogen dus niet de oude vervangen/tegenspreken...?

Maar waar ik een beetje mee zit... Ik weet niet zo goed wat ik van deze discussie moet denken.. Ik vind het een beetje moeilijk te bedenken wie er nu gelijk heeft (over de kwestie 'de wijzigbaarheid ( :) ) van wiskunde' en 'het vertrouwen dat we in de wiskunde moeten hebben')... Moet ik Hubris geloven, die op mij betrouwbaar overkomt... Of jij, die op mij betrouwbaar overkomt...?

Wat ik nu als waarheid aanneem, daarvan is de kans groot dat ik dat over een heul aantal jaren nog steeds als waarheid zie. Daarom ben ik een beetje huiverig om zomaar aan te nemen wat je zegt... Als je begrijpt wat ik bedoel.

[quote]Jullie komen op mij over alsof jullie zeggen dat de wiskunde helemaal klaar is met ontwikkelen.[/quote]

Dat ligt echter aan jouw interpretatie van wat wij zeggen.

[quote]Dat alles wat bedacht is[/quote]

Op het moment dat je je axioma's gedefinieerd hebt, is impliciet alle kennis in dat systeem vastgelegd. Het probleem zit hem er in dat het voor een mens dan nog niet duidelijk is wat al die kennis is (dat is waarom we in de wiskunde afleidingen nodig hebben).

[quote], ook alles is dat bedacht kan worden.[/quote]

Je kan nieuwe axioma's verzinnen en dus ook nieuwe wiskunde.

[quote]Ik bedenk me nu ineens dat we vorig jaar met ANW hebben moeten leren dat wetenschappers heeeeel vaak in dogma's denken, of [u]moeten[/u] denken.[/quote]

Ah, de eerste stap op weg naar het "crank"-dom...

[quote]Zou het niet kunnen dat onze huidige denkbeelden obver een aantal jaar bespot worden, omdat we helemaal de verkeerde kant op zitten te denken?[/quote]

In dit geval niet... juist omdat het over wiskunde gaat. Zoals al vaak gezegd in deze thread: wiskunde is een spel waarvan we zelf de regels volledig bepaald hebben. Zelfs als we in de toekomst de spelregels veranderen (en daar is niks op tegen wiskundig gezien) dan nog is er niks mis met de huidige wiskunde (axioma's mag je immers kiezen zoals je zelf wil).

[quote]Jullie komen op mij over alsof jullie zeggen dat de wiskunde helemaal klaar is met ontwikkelen. Dat alles wat bedacht is, ook alles is dat bedacht kan worden.[/quote]

Helemaal niet, waar haal ik het anders vandaan om het huidig wiskundig onderzoek te vernoemen?

Jullie komen op mij over alsof jullie zeggen dat de wiskunde helemaal klaar is met ontwikkelen. Dat alles wat bedacht is, ook alles is dat bedacht kan worden.

Ik bedenk me nu ineens dat we vorig jaar met ANW hebben moeten leren dat wetenschappers heeeeel vaak in dogma's denken, of [u]moeten[/u] denken. Zo dachten vroegere natuurkundigen dat een vacuüm absoluut niet kon bestaan... Omdat dat volgens de huidige gedachten niet kon. Zo was het volgens hun, wanneer je een pipet vulde met water en de bovenkant afsloot en het water er dus niet uit liep, het de hand van God die het water in de pipet hield.

Tegenwoordig lachen we ze uit... Domme gedachtes van ze!

Zou het niet kunnen dat onze huidige denkbeelden obver een aantal jaar bespot worden, omdat we helemaal de verkeerde kant op zitten te denken?

[quote]Dan is wiskunde het enige gebied van alle kennis-gebieden van de mens waar dit niet gebeurt. Zelfs in de taal gebeurt dit. Gezien wiskunde ook een taal is moet het ook voor wiskunde opgaan.[/quote]

Ik zie wiskunde niet als een taal, bepaalde overeenkomsten maken het nog niet wat wij doorgaans verstaan onder een "taal". In de wiskunde gaan we niet een boom doorzagen, de omtrek meten, de diameter meten, dit delen om zo pi experimenteel vast te leggen. We [i]definiëren[/i] pi op een bepaalde manier.

Hoewel vele zaken in de wiskunde oorspronkelijk ontstaan zijn uit fysische problemen, heeft de wiskunde an sich geen natuur nodig. Neem een wiskundige, een stel axioma's en definities en hij kan gaan spelen. Zeker het gros van het huidige onderzoek binnen de wiskunde doet geen beroep op de 'natuur': een bureau en een pen volstaan, bij wijze van spreken.

[quote]Als dat jouw antwoord geweest zou zijn op mijn bericht dan had ik kunnen zeggen dat dat voor 0/0 net zo zou kunnen: dat er een antwoord wordt vastgesteld.[/quote]

Dat is een goede opmerking, maar zoals gezegd: wanneer men hier een definitie aan tracht te geven (0, 1 of nog wat anders), dan blijkt dat niet consistent met de eigenschappen/rekenregels die we al hebben, en die we liever niet verliezen. Dat blijkt algemeen zo met deling door 0 (dus ook voor 3/0), vandaar dat deling door 0 in R niet gedefinieerd is.

Hubris, je quootte mijn vraag op welk niveau jij wiskunde hebt gevolgd. Het leek erop of je wilde antwoorden, maar je deed dit niet. Ik ben wel benieuwd nu :)

[quote]Dan is wiskunde het enige gebied van alle kennis-gebieden van de mens waar dit niet gebeurt. Zelfs in de taal gebeurt dit.[/quote]

Wiskunde is ook de enige uitzondering! Dat maakt wiskunde ook speciaal: het staat helemaal los van de natuur, de maatschappij enz. De hele wiskunde zou bij wijze van spreke 'bedacht' kunnen worden op een andere planeet, en dan zou het zich op dezelfde manier ontwikkelen (behalve naamgevingen e.d.).

[quote]Gezien wiskunde ook een taal is moet het ook voor wiskunde opgaan.[/quote]

Dat vind ik een erg vreemde en foute redenering. Wiskunde is een taal zoals Frans, Duits, DUS heeft het precies dezelfde eigenschappen.

Nee, op een bepaalde manier kun je wiskunde als een taal omschrijven (geheel anders dan Frans, Duits, enz) en ze hebben dan ook heel andere eigenschappen.

Zeggen dat iets niet gedefinieerd is, is ook een antwoord...en een definitie (zij het een paradoxale).

[quote]Ondertussen heeft ook dit nog weinig te maken met 0/0 natuurlijk...[/quote]

Dat had ik geschreven omdat ik een antwoord had verwacht waarin stond dat sommige dingen inderdaad niet zelf uit te rekenen zijn, maar waar enkel een antwoord voor vastgesteld is.

Als dat jouw antwoord geweest zou zijn op mijn bericht dan had ik kunnen zeggen dat dat voor 0/0 net zo zou kunnen: dat er een antwoord wordt vastgesteld. En van daaruit zou dan de vraag kunnen voortvloeien: Als hier op het wetenschapsforum nu een antwoord moet worden bedacht op 0/0, wat zou dan het meest voor de hand liggende antwoord wezen? Is dat 0, omdat 0/x=0, of is het 1, omdat x/x=1, of is het antwoord [tex]\rr[/tex]?

Maar je gaf dat niet als antwoord, dus nu gaat het stellen van die vragen ook niet meer op... :-D