door TD » zo 02 dec 2007, 18:35
Veel tijd heb ik niet, dus moet het erg beknopt. Om het goed te snappen moet je je eerst verdiepen in het begrip "kardinaliteit". Daarover vind je ook wel wat op wikipedia.
Eenvoudig gezegd: Cantor heeft het begrip van "grootte" van een verzameling uitgebreid naar verzamelingen met een oneindig aantal elementen. Met het begrip kardinaliteit heeft hij een manier ontwikkeld om de "mate van oneindigheid" te kwantificeren.
Je kan aantonen dat de verzamelingen N, Z en Q (natuurlijke, gehele en rationale getallen) dezelfde kardinaliteit hebben. Of, populair gezegd, dat ze "even groot" zijn. Je kan ook aantonen dat dit niet meer geldt voor R (reële getallen), deze heeft een grotere kardinaliteit.
Men kan zich dan afvragen of er een mate van oneindigheid is, die zich tussen deze twee bevindt. Is er dus een verzameling die "groter" is dan N, Z en Q, maar "kleiner" dan R? Of is R de eerste opvolger, dus de eerste vorm van oneindig groter dan die van de natuurlijke getallen?
De continuümshypothese stelt dat de kardinaliteit van R direct volgt op die van N (en Z, Q) en dat er dus geen tussenliggende bestaat. Later heeft men getoond dat dit onafhankelijk is van de huidige axioma's van de verzamelingenleer: je kan het niet bewijzen maar ook niet ontkrachten. Je kan consequent aan wiskunde doen door dit als extra axioma aan te nemen, of door het tegendeel aan te nemen.
Waarschuwing: om het allemaal wiskundig 'netjes' uit te drukken (en dus ook juister/preciezer) moet je je eerst wat verdiepen in de theorie hieromtrent.
Veel tijd heb ik niet, dus moet het erg beknopt. Om het goed te snappen moet je je eerst verdiepen in het begrip "kardinaliteit". Daarover vind je ook wel wat op wikipedia.
Eenvoudig gezegd: Cantor heeft het begrip van "grootte" van een verzameling uitgebreid naar verzamelingen met een oneindig aantal elementen. Met het begrip kardinaliteit heeft hij een manier ontwikkeld om de "mate van oneindigheid" te kwantificeren.
Je kan aantonen dat de verzamelingen N, Z en Q (natuurlijke, gehele en rationale getallen) dezelfde kardinaliteit hebben. Of, populair gezegd, dat ze "even groot" zijn. Je kan ook aantonen dat dit [i]niet[/i] meer geldt voor R (reële getallen), deze heeft een grotere kardinaliteit.
Men kan zich dan afvragen of er een mate van oneindigheid is, die zich tussen deze twee bevindt. Is er dus een verzameling die "groter" is dan N, Z en Q, maar "kleiner" dan R? Of is R de eerste opvolger, dus de eerste vorm van oneindig groter dan die van de natuurlijke getallen?
De continuümshypothese stelt dat de kardinaliteit van R direct volgt op die van N (en Z, Q) en dat er dus geen tussenliggende bestaat. Later heeft men getoond dat dit onafhankelijk is van de huidige axioma's van de verzamelingenleer: je kan het niet bewijzen maar ook niet ontkrachten. Je kan consequent aan wiskunde doen door dit als extra axioma aan te nemen, of door het tegendeel aan te nemen.
Waarschuwing: om het allemaal wiskundig 'netjes' uit te drukken (en dus ook juister/preciezer) moet je je eerst wat verdiepen in de theorie hieromtrent.
