thermo1945 schreef:Kun je aub een voorbeeld geven?
(...)
Voor de volgende iteratieve betrekking(met p, q en r constanten):
\(a_{n+2}=pa_{n+1}+ qa_{n}+r\)
We definieëren de machtreeks A:
\(A(\lambda) = a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + ... + a_n\lambda^n + ... \)
We negeren de vraag of dit convergeert omdat dit in de stellingen van de theorie van formele machtreeksen nergens gebruikt hoeft te worden.
Nu de oplossing van jouw vraagstuk:
\(a_{n+2}=pa_{n+1} +qa_{n}+r\)
Vermenigvuldig met
\(\lambda^{n+2}\)
, let op hoe ik de machten uit elkaar trek.
\(a_{n+2}\lambda^{n+2}=p\lambdaa_{n+1}\lambda^{n+1}+q\lambda^2a_{n}\lambda^n+r\lambda^n\)
Sommeren van nul tot oneindig.
\(\Sigma_{n=0}^\infty a_{n+2}\lambda^{n+2} =p\lambda\Sigma_{n=0}^\infty a_{n+1}\lambda^{n+1}+q\lambda^2\Sigma_{n=0}^\infty a_n\lambda^n+r\Sigma_{n=0}^\infty \lambda^n\)
De definitie van A invullen. Compenseer voor de verschuiving in de index. Bovendien is
\(\Sigma_{n=0}^\infty \lambda^n\)
bekend:
\(A(\lambda)-a_0-a_1\lambda = p\lambda(A(\lambda) -a_0)+q\lambda^2A(\lambda)+r\frac{1}{1-\lambda}\)
Alles met
\(A(\lambda)\)
naar links:
\(A(\lambda)(1-p\lambda - q\lambda^2)=-p\lambda a_0 + \frac{r}{1-\lambda}+a_0+a_1\lambda\)
Delen door de coefficient voor A:
\(A(\lambda) = \frac{-p\lambda a_0 + \frac{r}{1-\lambda}+a_0+a_1\lambda}{1-p\lambda - q\lambda^2}\)
En dat is een fatsoenlijke functie in
\(\lambda\)
. Die kun je vervolgens schrijven als Taylorreeks via de afgeleiden en dan verschijnen de coefficienten
\(a_n\)
.
Voor
\(a_0=1, a_1=1, p=1, q=1, r=0\)
('ongeveer' Fibonacci) ziet dat er zo uit.
\(A(\lambda)=\frac{1}{1-\lambda-\lambda^2}\)
En alsof we ons nog niet genoeg hadden verbaasd over de overeenkomst tussen de gulden snede en de fibonacci getallen zien we daar als noemer de karakteristieke functie met nulpunt
\(\phi = 1.618...\)
verschijnen.
[quote='thermo1945' post='403588' date='16 March 2008, 00:33']Kun je aub een voorbeeld geven?
(...)[/quote]
Voor de volgende iteratieve betrekking(met p, q en r constanten):
[tex]a_{n+2}=pa_{n+1}+ qa_{n}+r[/tex]
We definieëren de machtreeks A:
[tex]A(\lambda) = a_0 + a_1\lambda + a_2\lambda^2 + ... + a_n\lambda^n + ... [/tex]
We negeren de vraag of dit convergeert omdat dit in de stellingen van de theorie van formele machtreeksen nergens gebruikt hoeft te worden.
Nu de oplossing van jouw vraagstuk:
[tex]a_{n+2}=pa_{n+1} +qa_{n}+r[/tex]
Vermenigvuldig met [tex]\lambda^{n+2}[/tex], let op hoe ik de machten uit elkaar trek.
[tex]a_{n+2}\lambda^{n+2}=p\lambdaa_{n+1}\lambda^{n+1}+q\lambda^2a_{n}\lambda^n+r\lambda^n[/tex]
Sommeren van nul tot oneindig.
[tex]\Sigma_{n=0}^\infty a_{n+2}\lambda^{n+2} =p\lambda\Sigma_{n=0}^\infty a_{n+1}\lambda^{n+1}+q\lambda^2\Sigma_{n=0}^\infty a_n\lambda^n+r\Sigma_{n=0}^\infty \lambda^n[/tex]
De definitie van A invullen. Compenseer voor de verschuiving in de index. Bovendien is [tex]\Sigma_{n=0}^\infty \lambda^n[/tex] bekend:
[tex]A(\lambda)-a_0-a_1\lambda = p\lambda(A(\lambda) -a_0)+q\lambda^2A(\lambda)+r\frac{1}{1-\lambda}[/tex]
Alles met [tex]A(\lambda)[/tex] naar links:
[tex]A(\lambda)(1-p\lambda - q\lambda^2)=-p\lambda a_0 + \frac{r}{1-\lambda}+a_0+a_1\lambda[/tex]
Delen door de coefficient voor A:
[tex]A(\lambda) = \frac{-p\lambda a_0 + \frac{r}{1-\lambda}+a_0+a_1\lambda}{1-p\lambda - q\lambda^2}[/tex]
En dat is een fatsoenlijke functie in [tex]\lambda[/tex]. Die kun je vervolgens schrijven als Taylorreeks via de afgeleiden en dan verschijnen de coefficienten [tex]a_n[/tex].
Voor [tex]a_0=1, a_1=1, p=1, q=1, r=0[/tex] ('ongeveer' Fibonacci) ziet dat er zo uit.
[tex]A(\lambda)=\frac{1}{1-\lambda-\lambda^2}[/tex]
En alsof we ons nog niet genoeg hadden verbaasd over de overeenkomst tussen de gulden snede en de fibonacci getallen zien we daar als noemer de karakteristieke functie met nulpunt [tex]\phi = 1.618...[/tex] verschijnen.
