Ik begrijp de vraag niet, dirkwb. Dit is toch gewoon de overbekende hoofdstelling van de algebra?
Je weet dat voor een willekeurig polynoom van graad n met kopcoëfficiënt
\(a_n\)
geldt:
\(p(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)\)
, waarbij de
\(z_k\)
's de n complexe wortels zijn, multipliciteit meegerekend.
In dit specifieke geval, met
\(p(x)=x^n-1\)
, weet je (hopelijk) dat de n wortels gegeven worden door
\(z_k=e^{\frac{i2\pi k}{n}}=\left(e^{\frac{i2\pi}{n}}\right)^k=z_1^k\)
met
\(1\leq k\leq n\)
Dus
\(p(x)=(x-z_1)(x-z_2)\cdots (x-z_n)=(x-z_1^1)(x-z_1^2)\cdots (x-z_1^n)=\prod_{k=1}^n (x-{z_1}^k)\)
(en nu mis ik blijkbaar een minteken volgens PP, maar het idee zal duidelijk zijn).
Ik begrijp de vraag niet, dirkwb. Dit is toch gewoon de overbekende hoofdstelling van de algebra?
Je weet dat voor een willekeurig polynoom van graad n met kopcoëfficiënt [tex]a_n[/tex] geldt: [tex]p(x)=a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)[/tex], waarbij de [tex]z_k[/tex]'s de n complexe wortels zijn, multipliciteit meegerekend.
In dit specifieke geval, met [tex]p(x)=x^n-1[/tex], weet je (hopelijk) dat de n wortels gegeven worden door [tex]z_k=e^{\frac{i2\pi k}{n}}=\left(e^{\frac{i2\pi}{n}}\right)^k=z_1^k[/tex] met [tex]1\leq k\leq n[/tex]
Dus
[tex]p(x)=(x-z_1)(x-z_2)\cdots (x-z_n)=(x-z_1^1)(x-z_1^2)\cdots (x-z_1^n)=\prod_{k=1}^n (x-{z_1}^k)[/tex]
(en nu mis ik blijkbaar een minteken volgens PP, maar het idee zal duidelijk zijn).
