Dag allemaal, allereerst een gelukkig nieuwjaar toegewenst!
Mijn opdracht is:
Verifieer de stelling van Green voor het schijfje begrensd door de cirkel x^2+y^2 =R^2 en de functies P(x,y)=xy^2 en Q(x,y)=-yx^2.
Stelling van Green
\(\int P dx +Q dy = \iint (dQ/dx - dP/dy) dA\)
Nu wilde ik ze allebei apart berekenen en laten zien dat ze hetzelfde zijn.
Voor de linkerintegraal heb ik de parametrisatie:
\( x= r \cos t y= r \sin t t \epsilon [0,2\pi]\)
De grenzen zijn dan 0 en 2pi
Ingevuld volgt dan:
\(\int -R^4\cos t \sin³ t dt R^4\sin t \cos³ t dt \)
(tussen dt en R^4 hoort een - maar latex toont die niet
Met mathematica is de primitieve:
\(-R^4/4 \sin^4 t + R^4/4 \cos^4 t \)
Dit levert met de grenzen 0 en 2pi: 0
En nu wil ik dan de andere uitrekenen
\(\iint (dQ/dx - dP/dy) dA\)
Ten eerste is dQ/dx = -2xy
en is dP/dy = 2xy
Dat levert de volgende integraal:
\(\iint -4xy dA\)
Maar hoe nu verder, wat moet ik als grenzen invullen?
Is het handig om nu weer dezelfde parametrisatie te gebruiken en dan dA te vervangen door r dr dt ?
Is de uitwerking van de eerste integraal overigens correct gedaan?
Alvast bedankt voor jullie tijd!
