Ja inderdaad maar het optellen zorgde daar voor.

[quote]Mijn methode werkt uiteraard niet (had ik aan moeten denken) aangezien alles wegvalt tot 0=0 8-) [/quote]

Ik heb die vergelijking eens in mijn symbolische rekenmachine gestopt (Ti-89 Titanium) en hij geeft true aan, dat betekent dat het klopt voor alle reëele getallen. hij geeft geen waarschuwing dat het domein eventueel groter kan zijn (iets wat meestal wel op het scherm komt te staan) in dat geval zou die 0=0 niet zo slecht zijn, het bewijst dat x geen enkele invloed op de functie heeft.

[quote]Hoezo sign(x) geeft het teken van x. (sign(0)=0)[/quote]

Dit was me bekend.

[quote]Dus dan is |x|=x . sign(x)[/quote]

Dit was even een brug te ver, maar nu is het me duidelijk.

[quote]Dit volg ik helaas niet helemaal.[/quote]

Hoezo sign(x) geeft het teken van x. (sign(0)=0)

Dus dan is |x|=x . sign(x)

Dank je, het is me volkomen duidelijk nu.

[quote]Moet je hiervoor per se de grafiek plotten? Kan je dit niet algebraïsch oplossen?[/quote]

Je weet dat [tex]y = x + |x-1|[/tex] een gebroken lijn is, met als knikpunt [tex](1,1)[/tex].

Als je nog een punt links en rechts van dat knikpunt weet ligt de grafiek volledig vast.

Neem daarvoor bv de punten [tex](\frac12,1)[/tex] en [tex](300000,599999)[/tex].

Als je het per sé uitgelebberd wilt hebben:

Voor [tex]\frac12 \le x \le 1[/tex] is [tex]x-1 \le 0[/tex], dus [tex]|x-1| = 1-x[/tex] en de vergelijking wordt [tex]x+1-x = 1[/tex]. Dit levert de oplossing [tex]\frac12 \le x \le 1[/tex]

Als [tex]x>1[/tex], dan is [tex]x-1>0[/tex], dus [tex]|x-1|=x-1[/tex] en dus krijgen we [tex]x+x-1 = 2x-1 = 1[/tex].

Dus de vergelijking zou in dit geval moeten gelden voor [tex]x=1[/tex] wat in strijd is met de begineis [tex]x>1[/tex]. Dus dit geval levert geen extra oplossingen.

Er gisteren nog even over nadenkend, besefte ik dat minstens één van mijn ongelijkheden niet-strikt hoort te zijn, nl. de bestaansvoorwaarde:

<i>Bestaansvoorwaarde: [tex]2x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac12[/tex]

Nog even checken in de oorspronkelijke vergelijking of alle waarden voldoen, en dat blijkt het geval te zijn.[/quote]

Moet je hiervoor per se de grafiek plotten? Kan je dit niet algebraïsch oplossen?

Mooi zo!

(Meer van dat :D )

Het kan eenvoudiger.

[tex]\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}[/tex]

[tex]\sqrt{2x-1}}[/tex] moet bestaan, dus [tex]x \ge \frac12[/tex]

Dan (zoals Kotje al aangaf) beide zijden kwadrateren:

[tex]\left(\sqrt{x+\sqrt{2x-1}} + \sqrt{x-\sqrt{2x-1}}\right)^2 = 2[/tex]

ofwel na uitwerken:

[tex]2x + 2\sqrt{x^2-2x+1} = 2[/tex]

ofwel [tex]x + |x-1| = 1[/tex]

plotje:

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0.5,2,0,4,300,300,600,600,'x + abs(x-1)')</script><!--graphend-->

Je ziet dat de oplossingsverzameling is [tex]\{x\in \rr | \frac12 \le x \le 1\}[/tex]

Nog even checken in de oorspronkelijke vergelijking of alle waarden voldoen, en dat blijkt het geval te zijn.

Ik ben er zeker van dat je op goede weg zit.

Ik zou het als volgt aanpakken:

[tex] |1+p|+|p-1|=2 \Leftrightarrow p( \mbox{sign}(1+p) + \mbox{sign}(p-1))+ \mbox{sign}(1+p) - \mbox{sign}(p-1)=2[/tex]

Indien p=0 klopt de vergelijking.

Indien 0<p<=1 klopt de vergelijking.

Indien -1<=p<0 klopt de vergelijking.

enz...

Ziet er heel deftig uit (!!!) en ik zou gewoon nog een geval 5 en 6 toevoegen, nl als 1 van beide absolute waardes 0 zijn en kijken of dit een contradictie geeft en dan heb je alles dunkt me :D

[quote]Correct. Nu nog aantonen natuurlijk.[/quote]

Een poging, voortbouwend op het werk van Morzon:

[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}|1+p|+\frac{\sqrt{2}}{2}|p-1|=\sqrt{2} \Leftrightarrow |1+p|+|p-1|=2[/tex]

We onderscheiden de volgende gevallen:[list]

[*][tex]1+p > 0 \land p-1 > 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p > -1\ \land \Leftrightarrow p > 1 \quad \Rightarrow p > 1[/tex]

[tex]\Rightarrow 1 + p + p - 1 = 2 \Leftrightarrow 2p = 2 \Leftrightarrow p = 1 \qquad \mbox{(contradictie)}[/tex]

[*][tex]1+p > 0 \land p-1 < 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p > -1\ \land \Leftrightarrow p < 1 \quad \Rightarrow p \in ]-1,1[[/tex]

[tex]\Rightarrow 1 + p - p + 1 = 2 \Leftrightarrow 2 = 2[/tex]

[*][tex]1+p < 0 \land p-1 > 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p < -1\ \land \Leftrightarrow p > 1 \quad \Rightarrow \mbox{contradictie}[/tex]

[*][tex]1+p < 0 \land p-1 < 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow p < -1\ \land \Leftrightarrow p < 1 \quad \Rightarrow p < -1[/tex]

[tex]\Rightarrow -1 - p - p + 1 = 2 \Leftrightarrow -2p = 2 \Leftrightarrow p = -1 \qquad \mbox{(contradictie)}[/tex]
[/list]Hieruit volgt dus dat [tex]p \in ]-1,1[[/tex]:

[tex]\sqrt{2x-1} > -1 \Rightarrow \mbox{steeds voldaan}[/tex]

[tex]\sqrt{2x-1} < 1[/tex]

Bestaansvoorwaarde: [tex]2x-1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac12[/tex]

[tex]\Rightarrow 2x-1 < 1 \Leftrightarrow x < 1[/tex]

Conclusie: [tex]V = \left]\frac12,1\right[[/tex]

Het probleem met mijn oplossingsmethode is dat ik de grensgevallen 0,5 en 1 niet vind, terwijl dit wel oplossingen zijn. Waarschijnlijk zit de fout in het feit dat ik overal strikte ongelijkheden gebruik (< en >), terwijl het misschien ergens niet-strikte ongelijkheden mogen/moeten zijn.

Wat denken de grote wiskundige geesten van mijn poging? Ik ben tenslotte maar een simpel laatstejaarsstudentje secundair onderwijs...

Correct. Nu nog aantonen natuurlijk.

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(0,4,0,4,300,300,600,600,'sqrt(x+sqrt(2*x-1))+sqrt(x-sqrt(2*x-1))')</script><!--graphend-->

[quote]Er zijn nog meer oplossingen![/quote]

Veel meer zo te zien. Om te beginnen voldoen alle [tex]x \in \left[\frac12,1\right][/tex]. Zijn er nog meer?

Met wat Morzon heeft gegeven kan je wel goed op weg denk ik, zo zie je "op het zicht' dat -1/3, 1/3, -2/3, 2/3, 1/6, -1/6, 5/6 en -5/6 oplossingen zijn... Klopt dit? :P

EDIT: dit zijn oplossingen voor p, niet voor x zie ik juist :P en er zijn er nog meer zie ik; bijv 1/4, 3/4... NJa, alsk meer tijd had telde ik wat :D