door Kravitz » di 29 dec 2009, 17:28
Hallo allemaal,
Ik heb een klein vraagje ivm een oefening, op zich niet zo moeilijk eigenlijk maar mijn prof doet iets anders in de laatste stap
Opgave:
Zoek de vergelijking van het raakvlak in het punt met coördinaten ( \( \sqrt{3} \)
,
\( \sqrt{3} \)
,
\( \sqrt{3} \)
) aan de bol met vergelijking: x² + y² + z² - 2x + 3y - z -9 = 0[/i]
Mijn oplossing:
1) Bepalen van het middelpunt van de bol door te vervolledigen tot volkomen kwadraten:
\((x - 1)² + (y + \frac{3}{2})² + (z - \frac{1}{2})² = \frac{25}{2} \)
Het middelpunt m is dus
\((1,- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})\)
2) Normaal van het raakvlak bepalen door de vector te bepalen uit het middelpunt naar het raakpunt:
\( \overrightarrow{n} \)
(
\( \sqrt{3} \)
- 1,
\( \sqrt{3} \)
+
\(\frac{3}{2}\)
,
\( \sqrt{3} \)
-
\(\frac{1}{2})\)
3) We weten dat de standaard vergelijking van een vlak van de vorm is ux + vy + w + t = 0 en we weten dat (
\( \sqrt{3} \)
,
\( \sqrt{3} \)
,
\( \sqrt{3} \)
) een punt van het vlak is. Dus kunnen we t bepalen door alles in te vullen. ( als u,v,w gebruiken we de normaal vector)
ik verkrijg: t = 9 - 3
\( \sqrt{3} \)
dus volgens mij is de vergelijking van het raakvlak
(
\( \sqrt{3} \)
- 1)x + (
\( \sqrt{3} \)
+
\(\frac{3}{2}\)
)y + (
\( \sqrt{3} \)
-
\(\frac{1}{2})\)
z + 9 - 3
\( \sqrt{3} \)
= 0
Nu: mijn prof volgt precies dezelfde redenering als mij maar in stap 3 doet hij het volgende:
vgl raakvlak: (
\( \sqrt{3} \)
- 1)(x -
\( \sqrt{3} \)
) + (
\( \sqrt{3} \)
+
\(\frac{3}{2}\)
)(y -
\( \sqrt{3} \)
) + (
\( \sqrt{3} \)
-
\(\frac{1}{2})\)
)(z -
\( \sqrt{3} \)
) = 0
Mijn vraag is nu: waarom zal mijn manier waarschijnlijk fout zijn?
Hallo allemaal,
Ik heb een klein vraagje ivm een oefening, op zich niet zo moeilijk eigenlijk maar mijn prof doet iets anders in de laatste stap
Opgave:[i]Zoek de vergelijking van het raakvlak in het punt met coördinaten ( [tex] \sqrt{3} [/tex],[tex] \sqrt{3} [/tex],[tex] \sqrt{3} [/tex]) aan de bol met vergelijking: x² + y² + z² - 2x + 3y - z -9 = 0[/i]
Mijn oplossing:
1) Bepalen van het middelpunt van de bol door te vervolledigen tot volkomen kwadraten:
[tex](x - 1)² + (y + \frac{3}{2})² + (z - \frac{1}{2})² = \frac{25}{2} [/tex]
Het middelpunt m is dus [tex](1,- \frac{3}{2}, \frac{1}{2})[/tex]
2) Normaal van het raakvlak bepalen door de vector te bepalen uit het middelpunt naar het raakpunt:
[tex] \overrightarrow{n} [/tex] ([tex] \sqrt{3} [/tex] - 1,[tex] \sqrt{3} [/tex] + [tex]\frac{3}{2}[/tex], [tex] \sqrt{3} [/tex] - [tex]\frac{1}{2})[/tex]
3) We weten dat de standaard vergelijking van een vlak van de vorm is ux + vy + w + t = 0 en we weten dat ([tex] \sqrt{3} [/tex],[tex] \sqrt{3} [/tex],[tex] \sqrt{3} [/tex]) een punt van het vlak is. Dus kunnen we t bepalen door alles in te vullen. ( als u,v,w gebruiken we de normaal vector)
ik verkrijg: t = 9 - 3 [tex] \sqrt{3} [/tex]
dus volgens mij is de vergelijking van het raakvlak
([tex] \sqrt{3} [/tex] - 1)x + ([tex] \sqrt{3} [/tex] + [tex]\frac{3}{2}[/tex])y + ([tex] \sqrt{3} [/tex] - [tex]\frac{1}{2})[/tex]z + 9 - 3 [tex] \sqrt{3} [/tex] = 0
Nu: mijn prof volgt precies dezelfde redenering als mij maar in stap 3 doet hij het volgende:
vgl raakvlak: ([tex] \sqrt{3} [/tex] - 1)(x - [tex] \sqrt{3} [/tex]) + ([tex] \sqrt{3} [/tex] + [tex]\frac{3}{2}[/tex])(y - [tex] \sqrt{3} [/tex]) + ([tex] \sqrt{3} [/tex] - [tex]\frac{1}{2})[/tex])(z - [tex] \sqrt{3} [/tex]) = 0
Mijn vraag is nu: waarom zal mijn manier waarschijnlijk fout zijn?
