Elke operator die met de groep commuteert levert een quantumgetal op, en is dus nodig om de verschillende toestanden te karakteriseren. Dus je moet ze allemaal vinden om de toestand volledig te karakteriseren. Met representatie wordt een representatie van de groep bedoeld. Dus een of andere ruimte van vectoren die zich gedragen als de groep. Vaak is dat een verzameling matrices waarmee de abstracte groep "geimplementeerd" kan worden.

Hey,

ik ben er al achter dat men in het algemeen een deeltje kan beschrijven als "een irreducibele representatie van de Poincaré groep".

De kwantumgetallen die gebruikt worden zijn massa en spin (pariteit en ladingstoevoeging even achterwege gelaten) omdat deze afkomstig zijn van de P² operator (impuls) en W² operator (Pauli-Lubanski) dewelke Casimir operatoren zijn van de Poincaré algebra (ze commuteren met alle generatoren van de algebra).

Dus, om een representatie te vinden van een willekeurige groep: zoek je dan best naar Casimir operatoren (hoe je dat doet is een ander zaak) en de eigenwaarden die die teruggeven zijn dan goede kwantumgetallen (representatie)?

In het algemeen: waarom gaat men op zoek naar een maximale set van commutatoren? Ik bedoel daarmee, enkel P² in bovenstaand voorbeeld zou goed genoeg zijn, met massa dan als representatie van een deeltje. Gebruikt men ook spin om gewoon een vollediger beeld te geven of is er anders gewoon iets mis indien men spin niet in rekening brengt?