Het is eigenlijk best logisch dat dit zo werkt. Als je van je getal in het N-tallig talstelsel het laatste cijfer weghaalt is het resultaat een getal dat eindigt op 0 in het N-tallig stelsel, en dus deelbaar is door N (net zoals decimaal 93 - 3 = 90 op een nul eindigt en dus deelbaar is door tien). Dit voorstuk heeft dus alle delers van N als deler. Als je laatste cijfer nou een deler van N als deler heeft, heeft je hele getal, dat de som is van dat voorstuk en laatste cijfer, die deler, en is het dus geen priemgetal.
Een priemgetal in het 12-tallig stelsel kan dus niet eindigen op 9, want dan is het 12 a + 9 voor een zekere a, en dus deelbaar door 3.
Het laatste cijfer van een priemgetal in basis N, is dus een cijfer dat geen delers gemeenschappelijk heeft met N.
Voor N = 12 zijn dat 1, 5, 7 en B (11). Deze vier getallen noemen we overigens onderling ondeelbaar of relatief priem met N. Het zijn de getallen die modulo 12 een inverse hebben.
En dat is niet zo raar, want 12 = 2*6.
Dat is niet de (hele) reden. Zoals hier boven laten zien is het aandeel getallen dat overblijft als kandidaat-priemgetallen, gelijk aan het aandeel cijfers dat relatief priem is en dat aantal is
\(N \prod_{p | N \ priem} (p - 1)/p\)
en omdat 6 en 12 dezelfde priemdelers hebben hebben ze ditzelfde aandeel (nl. (2-1)/2 * (3-1)/3 en dat is inderdaad 1/3).
Het is eigenlijk best logisch dat dit zo werkt. Als je van je getal in het N-tallig talstelsel het laatste cijfer weghaalt is het resultaat een getal dat eindigt op 0 in het N-tallig stelsel, en dus deelbaar is door N (net zoals decimaal 93 - 3 = 90 op een nul eindigt en dus deelbaar is door tien). Dit voorstuk heeft dus alle delers van N als deler. Als je laatste cijfer nou een deler van N als deler heeft, heeft je hele getal, dat de som is van dat voorstuk en laatste cijfer, die deler, en is het dus geen priemgetal.
Een priemgetal in het 12-tallig stelsel kan dus niet eindigen op 9, want dan is het 12 a + 9 voor een zekere a, en dus deelbaar door 3.
Het laatste cijfer van een priemgetal in basis N, is dus een cijfer dat geen delers gemeenschappelijk heeft met N.
Voor N = 12 zijn dat 1, 5, 7 en B (11). Deze vier getallen noemen we overigens onderling ondeelbaar of relatief priem met N. Het zijn de getallen die modulo 12 een inverse hebben.
[quote]En dat is niet zo raar, want 12 = 2*6.[/quote]Dat is niet de (hele) reden. Zoals hier boven laten zien is het aandeel getallen dat overblijft als kandidaat-priemgetallen, gelijk aan het aandeel cijfers dat relatief priem is en dat aantal is
[tex]N \prod_{p | N \ priem} (p - 1)/p[/tex]
en omdat 6 en 12 dezelfde priemdelers hebben hebben ze ditzelfde aandeel (nl. (2-1)/2 * (3-1)/3 en dat is inderdaad 1/3).
