Natuurlijk kan je niet verwachten dat een reëel systeem een oneindige opslingering krijgt; daarvoor zou je er ook oneindig veel energie in moeten steken.

Een pool exact op de imaginaire as zal in de praktijk niet makkelijk voorkomen, aangezien je dan geen enkele demping mag hebben. Dat neemt niet weg dat voor kleine excitaties een pool op de imaginaire as een goede beschrijving vormt.

Merk ook op dat de polenligging niet tijdsonafhankelijk hoeft te zijn. In het begin, voor kleine excitaties, kan een pool op de imaginaire as liggen. Bij excitatie met deze frequentie zal de uitgang van het systeem groter en groter worden. Bij deze grote signalen kan het systeem anders reageren (bv niet-lineariteiten); er treedt bijvoorbeeld meer demping op en de polen verschuiven naar links.

In eerste benadering zal een goede integrator, met een opamp, een pool hebben in de oorsprong. Dit is natuurlijk alleen maar geldig zolang het signaal niet te groot is; wordt het te groot, dan krijg je een hele andere transferfunctie.

Daar lijkt het inderdaad op neer te komen bessie. Want het blijkt dat in de praktijk een pool meer een indicatie is voor een beperkte opzwaaiing van bepaalde frequenties dan echt het oneindig worden ervan bij excitatie. Ik vind het wel héél schandalig dat dit in de meeste cursussen niet zéér zéér duidelijk word behandelt want het handelt echt wel over de kern van de zaak ... Ik heb de indruk dat men in de cursussen die ik krijg op school die zaak een beetje vermeden word omdat ze wat ongemakkelijk is.

Is het niet zo, dat een signaalbeschrijving en een overdrachtsfunctie nooit precies fysisch hoeven te zijn?

Ik gaf al aan dat een stap of deltafunctie wel een oneindige component kan hebben, maar dat dat alleen kan als de wiskundige beschrijving van dat signaal ook daadwerkelijk fysich uitvoerbaar is. Hetgeen bij een stapfunctie niet zo is.

Het zelfde geldt voor een overdrachtsfunctie. Je kan een slinger door hem op zijn eigenfrekwentie aan te slaan oneindig ver op laten slingeren, alleen gelden op dat moment de wiskundige vergelijkingen niet meer (gelden alleen voor kleine uitwijkingen) en heeft dus ook de overdrachtsfunctie nog slechts een wiskundige waarde. Oneindigheid is niet iets dat fysische waarde heeft.

Wie kan overigens een bodediagram laten zien waarin een oneindige amplitudeversterking staat? Dan zou je kunnen bestuderen welke fysische beperkingen achterwege zijn gelaten bij het opstellen van de overdrachtsfunctie.

Je hebt gelijk dat wanneer je een pool op de imaginaire as hebt, dat deze frequentie niet oneindig versterkt wordt in het uitgangssignaal. Ik was daar even in de war.

De Laplace van een sinus is oneindig op zijn frequentie op de imaginaire as. Een frequentie waar de transferfunctie oneindig wordt wil dus niet per se zeggen dat die frequentie oneindig versterkt wordt, maar eerder dat in het resultaat gewoon een sinus van die frequentie terecht komt.



Zoals bv volgende voorbeeld aantoont:

[tex]G(s)=\frac{1}{s^2+1}[/tex]

Het impulsantwoord (waarin alle frequenties vertegenwoordigd zijn) geeft een simpele sin(t)

Of wanneer je het systeem aanslaat op een 'verkeerde' frequentie, dus een frequentie ongelijk aan de pool, krijg je als resultaat de som van een sinus op de frequentie van de ingang (de 'verkeerde' frequentie), plus nog de frequentie van de pool.

Of als je een talud aanlegt, krijg je een talud terug met daarop die sinus op gesuperponeerd.

Sla je het systeem nu aan op de frequentie van zijn pool, dan krijg je wel een oneindige versterking:

het antwoord hier is dan [tex]y(t)=0.5(\sin{t}-t\cos{t})[/tex]. (Vergelijkbaar met een wrijvingsloze slinger die je op zijn eigenfrequentie blijft aandrijven.)

Nu denk ik dat ik ook zie waar je het over had in het begin. Je had het over een pool op a+wj en daarbij horend [tex]\sin{\omega t}+e^{at}[/tex]

Wanneer je een tweede-orde systeem hebt met polen a+-jw, dan is het impulsantwoord hiervan juist die gedempte sinus.

Dit geldt wel niet meer voor hogere orde systemen; ht impulsantwoord is dan iets complexer, maar je ziet er wel de voorgaande termen in terugkomen

Ik vermoed toch dat je het hierover had? Mijn excuses voor de verwarring hierrond.

Ik had de link eerlijk gezegd niet gelegd met het impulsantwoord, aangezien dat iets is wat ik in de praktijk niet zo vaak tegenkom; aangezien bij het regelen van systemen het stapantwoord en stabiliteit meestal bepalend is en je van 1e en 2e orde systemen ook de tf kan bepalen uit het stapantwoord, of je gewoon niet per se de tf moet weten.

Het probleem is dat ik je voorbeelden steeds wel goed vind en begrijp maar toch nogaltijd moeite heb met die H(jw) die oneindig wordt. Het lijkt me zowat dat wnr de H(jw) naar oneindig neigt in een bepaalde frequentie dit in de praktijk wilt zeggen dat die frequentie eerder "met voorkeur doorgelaten wordt,en in de impulsresponsie verschijnt" en niet echt dat de amplitude van die frequentie echt oneindig wordt.

ik heb trouwens een heel leerzame en goede applet gevonden ! [url=http://www.ee.usyd.edu.au/~hansen/bode/bode.html]http://www.ee.usyd.edu.au/~hansen/bode/bode.html[/url]

veel plezier ermee !

Een instabiel systeem hoet niet perse een oneindige waarde hebben op de bode plot, dit zal enkel zijn wanneer de polen op de imaginaire as liggen.

Wanneer ze in het rechterhalfvlak liggen, krijg je het effect dat het uitgangssignaal onbegrensd blijft groeien.

Beschouw bijvoorbeeld het systeem:

[tex]G(s)=\frac{1}{s^2+2s+2}[/tex]

leggen we nu bijvoorbeeld een eenheidsstap aan: u(t)=1, u(s)=1/s

De uitgang is nu:

[tex]y(t)=L^{-1}(\frac{1}{s(s^2+2s+2)})=te^{-t}[/tex]

Deze is begrensd.

Leggen we nu polen in het rechterhalfvlak:

[tex]G(s)=\frac{1}{s^2-2s+2}[/tex]

Dan krijgen we als antwoord op de eenheidsstap:

[tex]y(t)=te^t[/tex]

Deze functie is niet begrensd, dus het systeem is instabiel.

Wat zien we nu: een eindige bode plot staat niet altijd gelijk aan een eindig uitgangssignaal. Vandaar dat we ook kijken naar de polen in het complexe vlak.

Maar volgens mijn boek is het systeem altjd instabiel als de polen >= 0 zijn. En we hebben het net gehad over het geval > 0 maar ook voor polen met een reel deel dat positief is, is er instabiliteit... en grafisch gezien zie ik dat dan weer nie gebeuren met de manier van bekijken die je met die tekeningen gebruikte .... als je die 2 complexe polen aan de positieve kant van de reele as zet en je neemt terug een doosnede door de jw-as dan heb je weer gewoon een bode met een piekje ter hoogte van de polen ipv de volgens mij boek verwachte oneindige waarde om het systeem instabiel te hebben ? ...

Dat is correct. Als de pool op de imaginaire as ligt wel. We spreken dan ook over een instabiel systeem omdat er dan eindige ingangssignalen zijn waarvoor de uitgang oneindig wordt.

Ja , heel goede tekeningen, maar nu liggen die polen in de imaginaire dimensie en worden daar duidelijk oneindig groot. maar wat als die polen (grote omhooglopende kokers in de tekening) op de jw as liggen , dan wordt dit in het bode digram toch wel degelijk een curve die naar oneindig gaat ... en als je |H(s)| dan vermenigvuldigd met een ingangssignaal I(s) dan word die frequentie van de pool toch oneindig groot ...

Die functie wordt daar inderdaad oneindig. Maar daar kan je verder geen conclusie uit trekken voor een bepaald signaal of zo.

Misschien wordt het wat duidelijker met een figuur.

Ik heb een systeem dat volgende bode plot heeft

[attachment=1]bodeBand.jpg[/attachment]

Wat zegt de bovenste grafiek ons nu? We halen hieruit dat wanneer we een signaal door dit systeem sturen dat de lage en hoge frequenties onderdrukt worden, terwijl enkel een smalle band van de frequenties wordt doorgelaten (zo haal je bv 1 specifiek radiostation uit de lucht)

De bode plot geeft dus weer wat er gebeurt met de frequentieinhound van het signaal; je vermenigvuldigt de bode plot met het frequentiespectrum van je inganggsignaal en je hebt het uitgangssignaal.

Zoals je ziet hebben we hiervoor nergens polen (of nullen) voor nodig gehad. De grafiek heeft zelfs geen pool of nul.

Er is geen enkel signaal/frequentie die oneindig versterkt wordt.

Deze grafiek, is nu de plot van G(jw). Dus een de grafiek over de imaginaire as van G(s).

Uit G(jw) kunnen we achterhalen wat er gebeurt met eender welk willekeurig signaal. Waarom breiden we G(jw) dan uit naar het complexe vlak als we genoeg hebben aan de imaginaire as?

Wel, dit biedt een aantal voordelen, waaronder bijvoorbeeld de representatie; in het complexe vlak kan je elke veelterm ontbinden in zijn nulpunten, dus we kunnen een bepaalde transferfunctie G zeer eenvoudig weergeven door zijn polen en nullen. Verder zijn er ook een aantal eigenschappen van het systeem dat je kan afleiden uit de polen en nullen ligging in het complexe vlak.

Dit is de uitbreiding van G(jw) naar G(s):

[attachment=0]complexBand.jpg[/attachment]

De rode lijn is de reële as, de groene de imaginaire.

Zoals je kan zien is de groene lijn juist de bode plot van hierboven (een beetje vervormd aangezien de bode plot in logaritmische schaal staat).

Er zijn duidelijk twee polen in het linkerhalfvlak. Deze hebben ervoor gezorgd dat er een opslingering is in hun nabijheid op de imaginaire as, zodat we een doorlaatband krijgen in onze bodeplot en een bepaalde frequentieband kunnen filteren.

Dus:

G(s) biedt een eenvoudige en intuïtieve manier om een transferfunctie weer te geven door zijn polen en nullen en hieruit een aantal eigenschappen te halen van het systeem

G(jw) biedt een eenvoudige en intuïtieve manier om te zien wat er met de frequentieinhoud van het ingangssignaal gebeurt.

Maakt dit het wat duidelijker?

ja sorry die zin sloeg op niet veel. Wat ik bedoel is dat je uitleg wel op veel slaat in mijn ogen maar je ontwijkt percies zowat het feit dat de functie er wél degelijk oneindig wordt, ok niet wanneer de pool niet op de imaginaire as ligt maar als de pool daar wel ligt word H(s) toch echt gewoon oneindig, dat is toch een wiskundig feit waar je niet rond kan ?

Niet oneindig, maar wel oneindig? Ik kan niet goed aan de redenering uit.

Mij lijkt het dat je misschien je cursus nog een van in het begin doorneemt, aangezien ik vermoed dat er een aantal basis dingen nog niet goed duidelijk zijn.

Of anders nog eens kort zeggen wat er onduidelijk is over de transferfunctie/overdrachtsfunctie G(jw) of G(s) en de polen en nullen hiervan. Want ik heb nu niet echt een goed beeld waar je juist problemen mee hebt.

ok , die is dan niet oneindig maar de functie word er wel oneindig , dat is toch ee wiskundig feit waar je niet omheen kunt ?

Je weet dat je met de Fourriergetransformeerde een functie kan ontbinden in zijn frequentiespectrum. Dit spectrum wordt weergegeven op de imaginaire as.

Een sinus met toenemende of afnemende frequentie bestaat heeft dus ook zijn spectrum op deze as, en wordt dus niet weergegeven door een punt of zo.

Kort uitgelged:

-G(jw) vertelt hoe elke frequentie (w) van het ingangssignaal versterkd wordt.

Het product van G(jw) met het ingangssignaal in het frequentiedomein geeft je het uitgangssignaal in het frequentiedomein.

-We kunnen jw nu vervangen door s en G uitbreiden naar het hele complexe vlak. Uit de ligging van de polen en nullen kunnen we een aantal eigenschappen halen zoals de stabiliteit en het stapantwoord. Maar de polen en nullen staan niet in verband met een bepaald signaal.

Signalen bekijken we op de imaginaire as.

Wat we bijvoorbeeld wel kunnen zeggen is het volgende:

De versterking van een bepaalde frequentie (imaginair getal, a=0) wordt bepaald door de grootte van G bij die frequentie. Als we nu een pool hebben bij s=a+wj kunnen we wel vermoeden dat G rond s=0+jw een opslingering zal krijgen bij die frequentie. Maar niet oneindig natuurlijk. (Het is overigens niet altijd zo dat er een opslingering optreedt; dit hangt af van de ligging van de pool.)

[quote='ZVdP' post='618956' date='30 July 2010, 21:45']Hoezo?

Las G(s) de transferfunctie is, dan is |G(jw)| de versterkingsfactor voor een signaal met frequentie w

Of bedoel je met versterkingsfactor enkel de DC winst? Maar in die zin is de versterkingsfactor hier toch nergens gebruikt?[/quote]

Een precieze definitie staat hier:

[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_function]http://en.wikipedia.org/wiki/Transfer_function[/url]

Er wordt dus een essentieel gebruik gemaakt van de Laplace-getransformeerden van het ingangs- en uitgangssignaal. Veel verwarring ontstaat wanneer niet duidelijk wordt gemaakt hoe die overdrachtsfunctie eigenlijk gedefinieerd is. Dan is het ook een raadsel waar die s ineens vandaan komt. Je kan de overdrachtsfunctie vervolgens inderdaad wel gebruiken om de versterking voor harmonische signalen uit te rekenen.