Als ik de stelling letterlijk lees staat er:

"voor alle complexe n x n matrices A bestaat er een inverteerbare matrix X zodanig dat...."

Uit bovenstaande zin volgt al dat matrix X niet uniek is (anders moet dit expliciet vermeld staan). Het voldoet dus als je er maar ééntje vindt. Echter je moet voor elke willekeurige matrix A een dergelijke matrix X kunnen vinden. Dit is aangetoond.

'Alle matrices A' zijn hierbij onderverdeeld in diagonaliseerbare matrices en niet-diagonaliseerbare matrices. In het eerste geval kun je zelfs gelijkheid krijgen. Ik denk eerlijk gezegd dat er geen probleem is...

Sowieso moet je in jouw geval voor gelijkheid ook hebben dat epsilon groter of gelijk dan nul is. Anders kan volgens mij je stelling nooit bewezen worden.

Dit is het probleem we weten beide niet of dat zo is. Nergens staat in de vraag dat het om meerdere matrices X gaat, we zoeken dus echt maar eentje.

Ik denk niet dat die het fout heeft. Het hangt van je matrix A af, welke matrix X je moet nemen. Als je matrix A diagonaliseerbaar is en hermitisch dan gebruik je X gelijk aan de identiteitsmatrix. Dan kun je gelijkheid krijgen. Is die niet diagonaliseerbaar dan kan je zonder verlies van algemeenheid aannemen dat A al in Jordan normaalvorm staat.

Nergens in je stelling staat dat de matrix X voor alle matrices A hetzelfde is? Dit kan je al zien aan het feit dat niet elke complexe matrix A dezelfde Jordan normaalvorm hebben. Dit hangt namelijk af van de spectrale eigenschappen van de matrix en dus heb je vrijheid in je keuze van X.

Sowieso moet je in jouw geval voor gelijkheid ook hebben dat epsilon groter of gelijk dan nul is. Anders kan volgens mij je stelling nooit bewezen worden.

Überhaupt is de X-matrix voorgesteld door jouw docent fout, want met die matrix kan er nooit gelijkheid ontstaan.

Kleine toevoeging. Volgens mij klopt het bovenstaande alleen als A gelijk is aan zijn hermitisch geconjugeerde.

Dan heb je immers . Dus is er nog geen gelijkheid aangetoond, denk ik.

dirkwb schreef:Nee, dit is een opgave die ik heb gevonden (zonder hint of docent dus). Hte probleem is dat er geldt:

\(||A||_2 \geq \rho \)

Wat het erg lastig maakt.

Gebruik bovenstaande en kies dan gewoon voor je matrix X de identiteitsmatrix? Of zeg ik nu iets raars .

Ik zie het nu. Rest alleen nu de gelijk aan. Kleiner dan is bewezen.

Je hebt toch laten zien dat dit geldt? Je kan (moet) het zelfs expliciet uitrekenen.
De laatste regel is gewoon het herschrijven van bovenstaand feit. Ik snap ook niet waarom het incompleet zou zijn door de absolute waarde? In je spectral radius kijk je bijv. toch naar de grootste eigenwaarde in absolute waarde? Of was dit niet je probleem?

Bedoelde je anders de buitenste absolute waarden in:
Want hieruit volgt i.h.a. dat:
Het linkergedeelte van deze ongelijkheid heb je niet nodig, maar komt omdat t zowel positief of negatief kan zijn.

Dat klopt w.b.t die laatste regel, maar is incompleet (niet voor niets staat die absolute waarde er). Je hebt nog steeds niet bewezen dat het zo is.

Het gaat er om dat t voldoende klein is. Ik zal het anders expliciet maken. Schrijf bijv. D=D(t)

Dan:
.

Hiermee ben je het denk ik wel mee eens.

Dan uit de definitie van de limiet hebben we
Uit de laatste regel kun je dan schrijven dat

Ik snap dat als je t->0 neemt dat er een diagonaalmatrix ontstaat. Maar als er een getal staat op de (bovenste) subdiagonaal van J_new= C^-1*J_i*C dan is het uitrekenen van J_new*J_new (met * is hermitisch geconjugeerd) helemaal niet makkelijk. Ik heb het met matlab uitgerekend voor een 4x4-matrix en er komt iets heel groots uit voor de eigenwaarden van die matrix. Mij gaat het erom hoe je bewijst dat, als t niet gelijk is aan nul, dan de eigenwaarde van die matrix |a|+e is.

Dan is D=C^-1.J_i.C diagonaal en D*D=diag{a^2,a^2,a^2,a^2}.

Nog een kleine toevoeging en correctie: D* is hier de hermitisch geconjugeerde van D, en in bovenstaande moet a^2 vervangen worden door |a|^2, want de matrix D hoeft niet per se hermitisch te zijn.

Dit geldt alleen in de limiet t->0. Dan is D=C^-1.J_i.C diagonaal en D*D=diag{a^2,a^2,a^2,a^2}. Op een diagonaal van een diagonale matrix staan de eigenwaarden van de betreffende matrix. Dan volgt het resultaat uit de definitie voor de 2-norm van een matrix. De 'e' komt van het feit dat je een limiet neemt. Dit is de epsilon groter dan nul van je stelling. (Ik was te lui om ε te typen, sorry daarvoor). Let op dat het essentieel is dat het hier gaat om een limietproces, want voor t=0 is de matrix C niet inverteerbaar!

Hopelijk is het nu duidelijker .

Ik snap niet hoe je bewijst dat de 2-norm van C^-1*J_i*C gelijk is aan |a|+e. Kan je dat toelichten?

Omdat ik zelf ook nogal benieuwd was naar de oplossing, heb ik maar een docent gemaild waarvan ik ooit lineaire algebra heb gehad. Hij kwam met een vrij elegant bewijs, dat ik hieronder zal schetsen (dus credits gaan naar hem ).

Je mag zonder verlies van algemeenheid al aannemen dat A in Jordannormaalvorm is (je mag immers A transformeren met elke willekeurige matrix X). Nu bekijk je bijv. 1 blok. Als voorbeeld neem ik een 4x4 blok, die dan de volgende vorm heeft.

J_i=

[a 1 0 0

0 a 1 0

0 0 a 1

0 0 0 a],

met a de eigenwaarde van het betreffende blok. Dit blok kun je transformeren met C= diag{t,t^2,t^3,t^4} zodat

C^-1*J_i*C=

[a t 0 0

0 a t 0

0 0 a t

0 0 0 a]

Voor t->0 is de 2-norm van dit specifieke blok gelijk aan |a|, dus voor t voldoende klein is dit gelijk aan |a|+e. Herhaal deze procedure voor elk blok, construeer hieruit je matrix X en dan heb je het bewijs geleverd .