Paul0o schreef:\( \int e^{-x^2} dx \)
De oplossing hiervan bestaat niet? Met grenzen van
\( -\infty \)
en
\( \infty \)
komt er echter wel
\( \sqrt{\pi} \)
uit. Hoe komen ze aan deze oplossing?
Denk in twee dimensies. We berekenen niet I maar I^2:
\( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \)
en we maken er een dubbelintegraal van:
\( \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2} dx dy \)
Omzetting naar poolcoördinaten, waarbij je de determinant van de Jabobiaan nodig hebt, geeft je
\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2}r dr d\theta \)
en nu kan je wellicht verder. Het antwoord moet dan de vierkantswortel van deze integraal zijn.
[quote='Paul0o' post='663888' date='31 March 2011, 22:48'][tex] \int e^{-x^2} dx [/tex]
De oplossing hiervan bestaat niet? Met grenzen van [tex] -\infty [/tex] en [tex] \infty [/tex] komt er echter wel [tex] \sqrt{\pi} [/tex] uit. Hoe komen ze aan deze oplossing?[/quote]
Denk in twee dimensies. We berekenen niet I maar I^2:
[tex] \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy [/tex]
en we maken er een dubbelintegraal van:
[tex] \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2-y^2} dx dy [/tex]
Omzetting naar poolcoördinaten, waarbij je de determinant van de Jabobiaan nodig hebt, geeft je
[tex] \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-r^2}r dr d\theta [/tex]
en nu kan je wellicht verder. Het antwoord moet dan de vierkantswortel van deze integraal zijn.
