Voor een wrijvingsloos harmonisch oscillator geldt:
\(ma=m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum_i F_i=-kx\)
\(m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0 \ \ \Rightarrow \ \ x(t)=Acos(\omega_0 t)+Bsin(\omega_0 t)\)
met
\(\omega_0^2=\frac{k}{m}\)
Voor een harmonisch oscillator met wrijving (wrijving is evenredig met snelheid) geldt:
\(m\frac{d^2x}{dt^2}=\sum_i F_i=-kx-b\frac{dx}{dt}\)
\(m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0 \)
De oplossing van deze differentiaalvergelijking is afhankelijk van de demping constante b!
\(b^2-4km=0\)
kritische demping (1)
\(b^2-4km>0\)
grote demping (2)
\(b^2-4km<0\)
kleine demping (3)
Dus de oplossingen zijn respectievelijk voor (1),(2) en (3):
\(x(t)=(A+Bt)e^{\omega_1 t}\)
met
\(\omega_1=\frac{-b}{2m}=\sqrt{\frac{k}{m}}\)
\(x(t)=Ae^{r_+t}+Be^{r_-t}\)
met
\(r_{\pm}=-\frac{b}{2m} \pm \frac{1}{2m}\sqrt{b^2-4km}\)
\(x(t)=e^{\omega_1t}\left( A cos(\mu t)+Bsin(\mu t)\right)\)
met
\(\mu=\frac{1}{2m}\sqrt{4km-b^2}>0\)
Met deze informatie zou je het moeten kunnen oplossen.
