Beste Drieske,
Zij V een inproductruimte en zij U een unitaire afbeelding van V naar V. Verder is gegeven dat E = {e1,e2,.....,en}
een orthonormale basis is van V
Toon aan dat S = {Ue1,Ue2,.....,Uen} ook een orthonormale basis is van V
Antwoord:
Okay als iets orthonormaal is dan geldt het volgende:
\(\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}\)
\(\delta_{ij} = \begin{cases}0 & \mbox{ als }i \neq j \\ 1 & \mbox{ als }i=j\end{cases}\)
Nu dit bekend is kan er gebruik worden gemaakt van de eigenschappen van een unitaire afbeelding
\(\langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, U^*Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangle\)
oftewel:
\(\langle Ue_i, Ue_j \rangle=\langle e_i, e_j \rangle\)
dus de elementen Ue_i en Ue_j zijn orthonormaal.
Met dit kunnen er n onafhankelijke vectoren worden gevormd. Deze n onafhankelijke vectoren spannen een ruimte van dimensie n op. Deze ruimte is V.
De stelling waarom een orthonormale basis LOS is:
Een orthonormale basis is {e1,e2,.....,en}
een lineaire combinatie wordt dan:
a1*e1 + a2*e2 + ......+an*en met a = een scalar
Om LOS te zijn moet gelden dat dit
a1*e1 + a2*e2 + ......+an*en = 0
zegt dat alle a'tjes nul zijn
a1*e1 + a2*e2 + ......+an*en = 0 ==> a1 + a2 + ......+an = 0
Dus a1 tot en met an zijn nul.
Morgen en overmorgen ga ik weer de hele dag studeren dus als ik vast zit zal ik wel weer een nieuw berichtje sturen
