Beschouw een eerste orde, irreversibele, exotherme reactie: A ->B. Deze vindt plaats in een jacketed reactor: dit is een buisvormige reactor die langs boven (
\(z_0\)
) gevoed wordt en langs onder (
\(z_f\)
) geledigd wordt, maar niet geroerd wordt. Rond de reactor zit een "jasje" waar een vloeistof doorstroomt.
Een voorbeeld van de beschouwde reactie is de productie van low density polyethyleen
We beschouwen de tijdsonafhankelijke (steady-state) reactie. Mijn taak is de optimale temperatuur
\(u(z)\)
van de vloeistof in het jasje te zoeken, in functie van de verticale ruimtelijke dimensie
\(z\)
. Optimaal wil zeggen dat er een trade-off moet gezocht worden tussen volgende twee objectieven:
1) de concentratie van het product (B) onderaan de reactor maximaliseren
2) de "heat-recovery" maximaliseren
Wiskundig uitgedrukt is dit:
\({ \text{min} }_{u(z)} (1-A) C^{ \text{te} }_1 x_1(z_f) + A C^{ \text{te}}_2 { \int }^{z_f}_{z_0} u(z)-x_2(z) \, \text{d} z\)
Met
\(u(z)\)
de temperatuur van het jasje,
\(x_1(z)\)
de concentratie van het reagens,
\(x_2(z)\)
de temperatuur van de reactor,
\(C^{ \text{te} }_1\)
en
\(C^{ \text{te} }_2\)
chemische constanten, en
\(A\)
een parameter die de trade-off tussen de twee deelobjectieven instelt. (Deze wiskunige minimalisatie is dan nog onderhevig aan een stel differentiaalvergelijkingen die de reactie beschrijven.)
Wiskunig begrijp ik de opgave volledig (dit is dan ook mijn vakgebied), maar chemisch/fysisch zit ik met een fundamenteel vraagteken: Waarom is het gewenst/gunstig om de warmtestroom van de reactor naar het jasje toe te maximaliseren? (Dit is wat er gebeurt bij het minimaliseren van de integraal, aangezien
\(u-x_2\)
de hoeveelheid voorstelt waarmee het jasje warmer is dan de reactor.)
Vanuit een fysisch oogpunt bekeken zou ik denken dat ook de warmtestroom van de reactor naar het jasje toe kostelijk is (immers moet de vloeistof in het jasje dan gekoeld worden, en een ijskast vraagt ook energie om te koelen) aangezien de laagste waarden voor
\(x_2\)
lager zijn dan kamertemperatuur. Ik zou dus denken dat alle stromen (voor alle waarden van
\(z\)
), zowel van het jasje naar de reactor toe, als van de reactor naar het jasje toe, beter zouden geminimaliseerd worden. Ik zou dus denken dat de integrand beter tussen absolute-waarde tekens zou gezet worden, vanuit een fysisch oogpunt bekeken.
Je zou nog kunnen redeneren dat als de uiteindelijke gevonden optimale oplossing
\(u^*(z)\)
er voor zorgt dat de integraal evalueert tot een positief getal, dat de minimalisatie dan overwegend nog een gunstig effect heeft, maar de door mij gevonden oplossing resulteert alvast in een negatieve evaluatie van de integraal.
Iemand die mijn fysische blik kan verruimen?
Beschouw een eerste orde, irreversibele, exotherme reactie: A ->B. Deze vindt plaats in een jacketed reactor: dit is een buisvormige reactor die langs boven ([tex]z_0[/tex]) gevoed wordt en langs onder ([tex]z_f[/tex]) geledigd wordt, maar niet geroerd wordt. Rond de reactor zit een "jasje" waar een vloeistof doorstroomt.
Een voorbeeld van de beschouwde reactie is de productie van low density polyethyleen
We beschouwen de tijdsonafhankelijke (steady-state) reactie. Mijn taak is de optimale temperatuur [tex]u(z)[/tex] van de vloeistof in het jasje te zoeken, in functie van de verticale ruimtelijke dimensie [tex]z[/tex]. Optimaal wil zeggen dat er een trade-off moet gezocht worden tussen volgende twee objectieven:
1) de concentratie van het product (B) onderaan de reactor maximaliseren
2) de "heat-recovery" maximaliseren
Wiskundig uitgedrukt is dit: [tex]{ \text{min} }_{u(z)} (1-A) C^{ \text{te} }_1 x_1(z_f) + A C^{ \text{te}}_2 { \int }^{z_f}_{z_0} u(z)-x_2(z) \, \text{d} z[/tex]
Met [tex]u(z)[/tex] de temperatuur van het jasje, [tex]x_1(z)[/tex] de concentratie van het reagens, [tex]x_2(z)[/tex] de temperatuur van de reactor, [tex]C^{ \text{te} }_1[/tex] en [tex]C^{ \text{te} }_2[/tex] chemische constanten, en [tex]A[/tex] een parameter die de trade-off tussen de twee deelobjectieven instelt. (Deze wiskunige minimalisatie is dan nog onderhevig aan een stel differentiaalvergelijkingen die de reactie beschrijven.)
Wiskunig begrijp ik de opgave volledig (dit is dan ook mijn vakgebied), maar chemisch/fysisch zit ik met een fundamenteel vraagteken: Waarom is het gewenst/gunstig om de warmtestroom van de reactor naar het jasje toe te maximaliseren? (Dit is wat er gebeurt bij het minimaliseren van de integraal, aangezien [tex]u-x_2[/tex] de hoeveelheid voorstelt waarmee het jasje warmer is dan de reactor.)
Vanuit een fysisch oogpunt bekeken zou ik denken dat ook de warmtestroom van de reactor naar het jasje toe kostelijk is (immers moet de vloeistof in het jasje dan gekoeld worden, en een ijskast vraagt ook energie om te koelen) aangezien de laagste waarden voor [tex]x_2[/tex] lager zijn dan kamertemperatuur. Ik zou dus denken dat alle stromen (voor alle waarden van [tex]z[/tex]), zowel van het jasje naar de reactor toe, als van de reactor naar het jasje toe, beter zouden geminimaliseerd worden. Ik zou dus denken dat de integrand beter tussen absolute-waarde tekens zou gezet worden, vanuit een fysisch oogpunt bekeken.
Je zou nog kunnen redeneren dat als de uiteindelijke gevonden optimale oplossing [tex]u^*(z)[/tex] er voor zorgt dat de integraal evalueert tot een positief getal, dat de minimalisatie dan overwegend nog een gunstig effect heeft, maar de door mij gevonden oplossing resulteert alvast in een negatieve evaluatie van de integraal.
Iemand die mijn fysische blik kan verruimen?
