[quote='Beroemdheid' time='1360496785' post_id='950071']

Ik weet in ieder geval wel dat [tex]x^y=y^x[/tex] alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet, maar dat is het enige koppel waarvoor het geldt.

[/quote]x=y>0

Martin Gardner heeft het eens behandeld in Scientific American, (Mathimatical Games) als ik me goed herinner.

Er zijn oneindig veel van dat soort paren x,y zodat [tex]x^y=y^x[/tex], alleen 2 en 4 is het enige paar [i]gehele[/i] getallen met deze eigenschap.

Zie ook [topic=16531]dit oude topic[/topic] over hetzelfde onderwerp (helaas zijn sommige posts indertijd wat misvormd geraakt door conversies bij updates en verandering van forumsoftware, waardoor er hier en daar wat haakjes en dingen abusievelijk zijn vervangen door smileys..)

Als je de grafiek tekent van [tex]f_y(x)=x^y-y^x[/tex] (waarbij je y in dit geval even als constante interpreteert) zie je zo al dat voor de meeste waarden van y, deze functie twee nulpunten heeft: (uiteraard eentje bij x=y, maar ook nog voor een andere x)

[graph=0,4,-3,3]'pow(x,3)-pow(3,x)','pow(x,5)-pow(5,x)','pow(x,6)-pow(6,x)'[/graph]

ja, dat begrijp ik...

[quote='Stekelbaarske' time='1360512951' post_id='950097']

ja, leuk gevonden zou ik zo zeggen; maar wie zou er op dit in vredesnaam komen? (nu ja, de eerste dan)[/quote]

Ga na dat dit bewijs berust op de eigenschap dat (a[sup]m[/sup])[sup]n[/sup] = a[sup]m[color=#000000]∙n[color="#222222"][/sup]. Meer zit er niet achter.[/color][/color]

[quote='mathfreak' time='1360509915' post_id='950095']

Bedenk eens dat 4 = 2[color=#000000]∙2, dus [/color]2[sup]4[/sup] = 2[sup]2[color=#000000]∙2[/color][/sup] = (2²)² = 4².

[/quote]

ja, leuk gevonden zou ik zo zeggen; maar wie zou er op dit in vredesnaam komen? (nu ja, de eerste dan)

[quote='Beroemdheid' time='1360496785' post_id='950071']

Ik weet in ieder geval wel dat [tex]x^y=y^x[/tex] alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet[/quote]

Bedenk eens dat 4 = 2[color="#000000"]∙2, dus [/color][color="#222222"]2[sup]4[/sup] = 2[sup]2[color="#000000"]∙2[/sup] = (2²)² = 4².[/color][/color]

[color="#222222"][color="#000000"][/color][/color]

wat jammer :(

Ik weet in ieder geval wel dat [tex]x^y=y^x[/tex] alleen geldt voor 2 en 4. Het bewijs daarvoor heb ik zo even niet, maar dat is het enige koppel waarvoor het geldt.

Hoi allemaal

Is er een term voor (een van de) 2 getallen, waarvan getal A grondtal x en exponent y heeft, en B grondtal y en exponent x, gelijk zijn?

[tex]x^y=y^x[/tex] (vb. [tex]2^4=4^2[/tex])

Of dat de machten opeenvolgend zijn?

[tex]x^y=y^x-1[/tex] (vb. [tex]2^3=3^2-1[/tex])

Bedankt!

(Als er nog zo voorbeelden zijn, mag je ze best zeggen :P )

-S.

als je 't ver gaat zoeken heb je ook [tex]x^y=y^{x-y}[/tex] (vb. [tex]8^2=2^{8-2}[/tex] en [tex]9^3=3^{9-3}[/tex])