misschien heeft het ook een praktische reden. Want sinusfunctie neemt tot 90 graden evenredig toe. De cosinus juist af. Dus bij de wet van snellius:[b] n1sin(i)=n2sin(b) [/b] als de hoek van inval bijvoorbeeld kleiner wordt [b][color=#ff0000]([/color]i[/b] wordt kleiner [b]sin(i) [/b]wordt kleiner als [b]sin(i)[/b] kleiner wordt dan moet [b]sin(b)[/b] groter worden dan wordt[b] b[/b] dus ook groter[b][color=#ff0000])[/color][/b] kun je dus gelijk zeggen dat de hoek van breking groter wordt. Als ze de cosinus hadden gebruikt moest je dus steeds het omgekeerde doen.

[quote='jkien' time='1363856975' post_id='954048']

Het is de vraag of Snellius zich niet verschrikkelijk bedrogen zou voelen als hij zag dat zijn naam nu verbonden is aan een wet die hij nauwelijks zou herkennen. De meetkundige vorm ging verloren; en zijn verklaring, de constante verkorting, is weggezet als een misvatting. Die verklaring vond hij waarschijnlijk het meest lumineuze van zijn idee. Hij zou zich vast omdraaien in zijn graf.

[/quote]

De naamgeving van natuurwetten klopt heel vaak niet:

[url=http://en.wikipedia.org/wiki/Stigler%27s_law_of_eponymy]http://en.wikipedia.org/wiki/Stigler%27s_law_of_eponymy[/url]

En de oorspronkelijke vorm waarin die natuurwetten gepresenteerd werden, verschilt vaak van de huidige.

En soms gebruiken ze het meetkundige diagram als een visuele samenvatting van een idee, dat anders met veel woorden uitgelegd moet worden.

Het is de vraag of Snellius zich niet verschrikkelijk bedrogen zou voelen als hij zag dat zijn naam nu verbonden is aan een wet die hij nauwelijks zou herkennen. De meetkundige vorm is verloren gegaan; en zijn verklaring, de constante verkorting, is weggezet als een misvatting. Die verklaring vond hij waarschijnlijk het meest lumineuze van zijn idee. Hij zou zich vast omdraaien in zijn graf.

Die voorkeur voor meetkundige formuleringen gaat terug op de oude Grieken. Een deugdelijke theorie van reële getallen heeft héél lang op zich laten wachten. Daarom gebruikte men in beschouwingen waarin afstanden van een willekeurige (en dus mogelijk irrationale) grootte voorkomen liefst de oude vertrouwde meetkunde.

Als moderne lezer verwacht ik dat natuurkundige wetten algebraisch geformuleerd worden, in de vorm van een formule met symbolen. Maar Snellius leefde in een tijd waarin wetten juist meetkundig geformuleerd moesten worden, in de vorm van een diagram met relaties tussen lijnstukken en oppervlaktes. In de tijd na Snellius hebben Descartes en Newton belangrijk bijgedragen aan het gebruik van algebra als hulpmiddel in de natuurkunde, maar uiteindelijk wilden ook zij de wetten nog steeds meetkundig formuleren. Ik heb even gezocht naar de vorm van de brekingswet bij Descartes en Newton.

Descartes publiceert zijn brekingswet in [url=http://science.larouchepac.com/fermat/august08-fermat.pdf]Dioptrique[/url] (1637, samen met Discours de la Methode). Hij formuleert de brekingswet zonder symbolen, zonder het woord sinus en zonder brekingsindex. Hij geeft het onderstaande diagram en stelt dat de verhouding van de lengtes a en b constant is, wat voor de moderne lezer overeenkomt met sin i : sin r = constant. Hij verweeft het helaas met zijn onjuiste verklaring dat de lichtsnelheid in de voortplantingsrichting CB vergroot is met die constante factor, terwijl de horizontale snelheidscomponent onveranderd is.

[attachment=0]Snellius1.png[/attachment]

Newton beschrijft in [url=http://www.gutenberg.org/files/33504/33504-h/33504-h.htm]Opticks[/url] (1704) de beginselen van lichtbreking in een paar korte en heldere stellingen, en hij geeft ongeveer hetzelfde diagram als Descartes. Hij beschrijft het als "if the Refraction be made out of Air into Water, the Sine of Incidence is to the Sine of its Refraction as 4 to 3". Dus een formulering zonder symbolen en zonder enkelvoudige brekingsindex, maar de moderne lezer herkent wel sin i : sin r = constant.

Hij bezondigt zich niet aan een speculatieve verklaring, want Opticks begint met het motto "My Design in this Book is not to explain the Properties of Light by Hypotheses, but to propose and prove them by Reason and Experiments".

Pas in de 19e eeuw wint de algebraische formulering van de brekingswet aan populariteit. Thomas Young introduceert de term brekingsindex, en bij hem is dat een enkelvoudig getal. Tot dan was het een verhouding zonder naam, die uit twee getallen bestond, de teller en de noemer (bijv. voor water 4:3). Na hem wordt de brekingswet soms als een moderne formule met symbolen geschreven, sin i / sin r = n.

Ik kwam [url=https://web.archive.org/web/20130903165423/http://www.philoscience.unibe.ch/documents/kursarchiv/WS01/GreekSource200.pdf]deze vertaling[/url] tegen van het opticaboek van [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Ptolemy]Ptolemaeus[/url], dat tot in de 17e eeuw de standaard was. Hij bespreekt in het hoofdstuk over lichtbreking (p.271) het idee dat er een beeldpunt is verticaal boven het voorwerp, met een diagram erbij dat min of meer overeenkomt met de afbeelding in het vorige bericht. Snellius heeft dat idee dus niet zelf bedacht, maar hij heeft de veronderstelling toegevoegd dat de verkortingsfactor b/a constant is, onafhankelijk van de hoek van inval.

Ptolemaeus geeft bovendien een serie metingen van de hoek van inval en van breking, voor water-lucht, glas-lucht en glas-water. Die van water-lucht heb ik in een grafiek gezet, plus de curve van de wet van Snellius. De afwijking rechts komt volgens deskundigen doordat Ptolemaeus zijn data daar heeft aangepast aan een tweedegraads polynoom. Als hij niet zo met zijn data was gaan knoeien had hij de wet van Snellius misschien gevonden.

[attachment=0]Snellius-plot.png[/attachment]

[quote="'jkien'"]Waarom zou Snellius de hoeken zijn gaan meten t.o.v de normaal?[/quote]

Dat blijkt geen nieuw idee van Snellius te zijn, hij heeft het van Ptolemaeus. Het is interessant om in diens opticaboek de definitie van de hoeken bij een reflectie (i en t), te vergelijken met die van de hoeken bij een refractie (i en r). Bij een reflectie definieert Ptolemaeus de hoeken t.o.v. het oppervlak, maar bij een refractie t.o.v. de normaal. Wellicht vond hij het meten van hoeken t.o.v. de normaal een ongewone kunstgreep die alleen bij refractie gerechtvaardigd is, omdat de evenredigheid van i en r (voor een medium, bij kleine hoeken) dan beter tot uitdrukking komt.

Ook Descartes en tijdgenoten definieren de hoeken van een reflectie t.o.v. van het oppervlak. Newton is de eerste die alle hoeken, ook die van een reflectie, t.o.v. de normaal definieert. Misschien besefte hij dat de hoek van een lichtstraal met een gekromd oppervlak geen definitie heeft zonder normaal en raakvlak.

 
[quote="'Jan van de Velde'"]Misschien een kwestie van "aangevoelde logica" (hoek nul breking nul)

Misschien een kwestie van breken aan kromme oppervlakken, normalen handiger/directer dan raaklijnen?[/quote]

Bij reflecties aan holle/bolle spiegels definieert Ptolemeus de hoeken gewoon t.o.v. het oppervlak. Hij vindt een krom oppervlak blijkbaar geen reden om zijn hoekdefinities aan te passen.
 

Gevonden: het enige bewaard gebleven document van Snellius is niet zo lang geleden vertaald van Latijn naar Duits.[[url=http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs004070000026?LI=true]Hentschel][/url] Snellius formuleerde zijn brekingswet ongeveer zo:[list]

[*]De verhouding van de cosecans van de hoek van inval en de cosecans van de hoek van breking is constant voor een gegeven medium. De verhouding van de lengte van de werkelijke straal en de lengte van de schijnbare straal heeft dezelfde constante waarde.

[*]Voor water is die verhouding 3:4; voor glas 2:3.

[*]Daarmee kun je de maximale hoek van breking precies berekenen: in water 48° 36', in glas 41° 49'.
[/list]

Het is een formulering zonder symbolen, sinussen en brekingsindex. Op het eerste gezicht lijkt het niet op de moderne formule. Er staat dat csc i : csc r = constant (csc is cosecans). Aangezien csc φ = 1 / sin φ is dat gelijkwaardig met de moderne formule, sin i / sin r = constant'.

Snellius gebruikt overigens de omgekeerde definitie van de hoek van inval en hoek van breking. Bij hem begint de invallende straal (eigenlijk een zichtlijn) in het oog Y, en bij het grensvlak gaat deze over in de gebroken straal, die eindigt in het voorwerp A. In de tijd van Snellius is die [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Emission_theory_(vision)]omgekeerde richting[/url] al ouderwets, maar het helpt bij zijn verklaring.

[attachment=0]Snellius.png[/attachment]

Snellius meent dat hij zijn formule kan verklaren met een bepaalde interpretatie van het gezichtbedrog dat voorwerpen onder water hoger lijken te liggen dan in werkelijkheid. Snellius poneert (onterecht) dat er in het verlengde van de invallende straal, [i]verticaal[/i] boven het voorwerp A, een beeldpunt B is. Snellius poneert bovendien dat het gezichtsbedrog gekenmerkt wordt door een verkortingsfactor b/a (dat is de verhouding van de 'schijnbare straal' XB en de 'werkelijke straal' XA) die constant is, onafhankelijk van de hoek van inval. Daaruit volgt dat csc i / csc r ook constant is (csc r = a/c en csc i = b/c).

Huygens oordeelt een paar jaar later dat die verklaring niet klopt, omdat er geen beeldpunt bestaat bij lichtbreking aan een vlak oppervlak. (Slechts bij binoculaire waarnemers kun je gaan spreken over beeldpunten, en de positie van die beeldpunten is anders dan bij Snellius.)

[quote]Men had al tabellen (bladzijde 7 en verder): [url=http://assets.press.princeton.edu/chapters/s9834.pdf]Brummelen[/url] [/quote]

Het blijkt dat Snellius zelf nieuwe, extra nauwkeurige, tabellen gepubliceerd heeft met de sinus, tangens en secans tot in 7 cijfers achter de komma ([url=http://hdl.handle.net/2027/ucm.5326624232?urlappend=%3Bseq=282]deze[/url]). Hij zal dus wel apetrots zijn eigen sinustabellen gebruikt hebben bij lichtbreking.

[quote='physicalattraction' time='1362318205' post_id='952172']

Ik weet niet of ze die kennis toen ook al hadden, maar ze zijn beide op dezelfde manier te benaderen.

[/quote]



Bijna maar niet helemaal.

[quote]Mogelijk is de sinus van een kleine hoek eenvoudiger te benaderen dan de cosinus van een bijna rechte hoek?[/quote]

Ik weet niet of ze die kennis toen ook al hadden, maar ze zijn beide op dezelfde manier te benaderen.

[quote='jkien' time='1362044275' post_id='951833']

Twee historische vragen over de vorm van de wet van Snellius.

- Waarom zou Snellius de hoeken zijn gaan meten t.o.v de normaal? Hoeken meten t.o.v. het glasoppervlak had meer voor de hand gelegen. (Dan was het cos i / cos r = n geworden, geen probleem).[/quote]

Mogelijk is de sinus van een kleine hoek eenvoudiger te benaderen dan de cosinus van een bijna rechte hoek?

[quote]

- Waarom zou Snellius de formulevorm sin i / sin r = n gekozen hebben. Je kunt de formule nu snel gebruiken om de brekingshoek bij een invalshoek van bijvoorbeeld 47 graden te berekenen, maar toen hadden ze nog geen rekenmachines. Wat kon hij eigenlijk met zijn formule?

[/quote]

Men had al tabellen (bladzijde 7 en verder): [url=http://assets.press.princeton.edu/chapters/s9834.pdf]Brummelen[/url]

Klopt het nog (mijn geheugen) dat slechts van rond de jaren 70, 71 de eerste elektronische rekenmachientjes in de handel bestonden (België). Of waren dat alleen nog maar de hoofdbewerkingen?

Mijn eerste professionele rekenmachine was electro-mechanisch kon de 4 hoofdbewerkingen en had, voor toen, zelfs 12 digits. Dat ding woog tegen de 20 kg. Dat moet rond '69 geweest zijn.

De rekenlat en tabellen waren toen standaard dingen.

[quote='jkien' time='1362044275' post_id='951833']

Twee historische vragen over de vorm van de wet van Snellius.

- Waarom zou Snellius de hoeken zijn gaan meten t.o.v de normaal? Hoeken meten t.o.v. het glasoppervlak had meer voor de hand gelegen. (Dan was het cos i / cos r = n geworden, geen probleem).[/quote]

Misschien een kwestie van "aangevoelde logica" (hoek nul breking nul)

Misschien een kwestie van breken aan kromme oppervlakken, normalen handiger/directer dan raaklijnen?



[quote]- Waarom zou Snellius de formulevorm sin i / sin r = n gekozen hebben. Je kunt de formule nu snel gebruiken om de brekingshoek bij een invalshoek van bijvoorbeeld 47 graden te berekenen, maar toen hadden ze nog geen rekenmachines. [/quote]

Daarvoor hoeven we niet terug tot Snellius' tijd, nog maar 40 jaar geleden toen ik op school voor het eerst met sinus etc kennismaakte deden we dat nog met tabellen resp de rekenliniaal. In Snellius' tijd zat trouwens natuurlijk ook niet Jan en Alleman aan brekingen te rekenen. Een andere manier is er overigens niet om zo'n fijne stofeigenschap als een brekingsindex vast te stellen.

Twee historische vragen over de vorm van de wet van Snellius.

- Waarom zou Snellius de hoeken zijn gaan meten t.o.v de normaal? Hoeken meten t.o.v. het glasoppervlak had meer voor de hand gelegen. (Dan was het cos i / cos r = n geworden, geen probleem).

- Waarom zou Snellius de formulevorm sin i / sin r = n gekozen hebben. Je kunt de formule nu snel gebruiken om de brekingshoek bij een invalshoek van bijvoorbeeld 47 graden te berekenen, maar toen hadden ze nog geen rekenmachines. Wat kon hij eigenlijk met zijn formule?