In het algemeen is er een "mooie" methode om uit elk complex getal a+bi de twee vierkantswortels te trekken.
Stel
\((x+yi)^2 = a + bi\)
Dan krijg je na uitwerking
\(x^2-y^2+2xyi=a+bi\)
Dit levert de vergelijkingen
\(\left\{\begin{array}{l}
x^2-y^2=a\\
2xy=b
\end{array}
\right .\)
op, en na kwadratering van de tweede vergelijking en vermenigvuldiging met een min
\(\left \lbrace\begin{array}{l}
x^2-y^2=a\\
(x^2).(-y^2)=-\dfrac{b^2}{4}
\end{array}
\right .\)
\(x^2\)
en
\(-y^2\)
zijn dus oplossingen van de resolvente vierkantsvergelijking
\(\lambda^2 - a\lambda -\dfrac{b^2}{4} = 0 \)
Deze vergelijking heeft automatisch twee reële wortels die bovendien een verschillend teken hebben (waarom)?
De positieve van de twee is
\(x^2\)
, de negatieve
\(-y^2\)
. Hieruit kan men 2 waarden voor x en 2 voor y vinden. Dan is het nog een kwestie om te zien welke x-waarde bij welke y-waarde hoort. Hiertoe kan je kijken naar het teken van
\(xy=\dfrac{b}{2}\)
Postscriptum: hoe zet ik die accolades voor het stelsel juist? Ik probeerde
\left \lbrace
\begin{array}{l}
(stelsel)
\end{array}
\right .
maar het resultaat ziet er niet uit.
In het algemeen is er een "mooie" methode om uit elk complex getal a+bi de twee vierkantswortels te trekken.
Stel [tex](x+yi)^2 = a + bi[/tex]
Dan krijg je na uitwerking [tex]x^2-y^2+2xyi=a+bi[/tex]
Dit levert de vergelijkingen
[tex]\left\{\begin{array}{l}
x^2-y^2=a\\
2xy=b
\end{array}
\right .[/tex]
op, en na kwadratering van de tweede vergelijking en vermenigvuldiging met een min
[tex]\left \lbrace\begin{array}{l}
x^2-y^2=a\\
(x^2).(-y^2)=-\dfrac{b^2}{4}
\end{array}
\right .[/tex]
[tex]x^2[/tex] en [tex]-y^2[/tex] zijn dus oplossingen van de resolvente vierkantsvergelijking [tex]\lambda^2 - a\lambda -\dfrac{b^2}{4} = 0 [/tex]
Deze vergelijking heeft automatisch twee reële wortels die bovendien een verschillend teken hebben (waarom)?
De positieve van de twee is [tex]x^2[/tex], de negatieve [tex]-y^2[/tex]. Hieruit kan men 2 waarden voor x en 2 voor y vinden. Dan is het nog een kwestie om te zien welke x-waarde bij welke y-waarde hoort. Hiertoe kan je kijken naar het teken van [tex]xy=\dfrac{b}{2}[/tex]
Postscriptum: hoe zet ik die accolades voor het stelsel juist? Ik probeerde
\left \lbrace
\begin{array}{l}
(stelsel)
\end{array}
\right .
maar het resultaat ziet er niet uit.
