Inderdaad vraag ik me af waarom de softwarepakketten zoals maple een antwoord geven. Let op dat maple geen numeriek pakket is maar een computeralgebra pakket. Anderzijds weet ik (wat maple zelf ook toegeeft) dat maple bij het commando limit in bepaalde gevallen de mist ingaat.
Ik heb intussen zelfs ontdekt dat in maple het commando limit(x^x,x=0,real) eveneens 1 als uitkomst geeft.
Anderzijds, terzijde genomen dat ik begrijp dat
\(a^x\)
voor
\(a<0\)
en
\(x\)
reëel niet gedefinieerd is, vraag ik me toch nog af of die linkerlimiet toch niet te definieren valt. Beschouw dat
\(a^x\)
wel gedefinieerd is voor
\(a<0\)
en
\(x=1/p\)
met p een oneven getal, als zijnde
\(-\left({\left(-{a}\right)}^{x}\right)\)
en
\(-\left({\left(-\frac{1}{a}\right)}^{-x}\right)\)
voor
\(p\)
negatief.
Definieren we dan
\(f:D \rightarrow R:x \mapsto x^x\)
met
\(D=\left\{ \left. \frac{-1}{p}\right|p \text{ oneven} \right\}\)
. Aangezien elke eindige omgeving van
\(x=0\)
een punt bevat van
\(D\)
, is het correct het bestaan van de limiet van
\(f\)
in
\(x=0\)
te onderzoeken. Het is nu zo dat voor elke
\(\epsilon>0\)
er een
\(\delta>0\)
bestaat zodanig dat voor elke
\(x \in D\)
met
\(0<|x|< \delta\)
geldt
\(0<|f(x)-1|< \epsilon\)
. Beschouw bvb
\(\epsilon={\left(\frac{-1}{t}\right)}^{\left(\frac{-1}{t}\right)}\)
met
\(t\ge 3\)
, dan voldoet
\(\delta>t\)
; andere gevallen voor
\(\epsilon\)
zijn eenvoudig te behandelen.
Inderdaad vraag ik me af waarom de softwarepakketten zoals maple een antwoord geven. Let op dat maple geen numeriek pakket is maar een computeralgebra pakket. Anderzijds weet ik (wat maple zelf ook toegeeft) dat maple bij het commando limit in bepaalde gevallen de mist ingaat.
Ik heb intussen zelfs ontdekt dat in maple het commando limit(x^x,x=0,real) eveneens 1 als uitkomst geeft.
Anderzijds, terzijde genomen dat ik begrijp dat [tex]a^x[/tex] voor [tex]a<0[/tex] en [tex]x[/tex] reëel niet gedefinieerd is, vraag ik me toch nog af of die linkerlimiet toch niet te definieren valt. Beschouw dat [tex]a^x[/tex] wel gedefinieerd is voor [tex]a<0[/tex] en [tex]x=1/p[/tex] met p een oneven getal, als zijnde [tex]-\left({\left(-{a}\right)}^{x}\right)[/tex] en [tex]-\left({\left(-\frac{1}{a}\right)}^{-x}\right)[/tex] voor [tex]p[/tex] negatief.
Definieren we dan [tex]f:D \rightarrow R:x \mapsto x^x[/tex] met [tex]D=\left\{ \left. \frac{-1}{p}\right|p \text{ oneven} \right\}[/tex]. Aangezien elke eindige omgeving van [tex]x=0[/tex] een punt bevat van [tex]D[/tex], is het correct het bestaan van de limiet van [tex]f[/tex] in [tex]x=0[/tex] te onderzoeken. Het is nu zo dat voor elke [tex]\epsilon>0[/tex] er een [tex]\delta>0[/tex] bestaat zodanig dat voor elke [tex]x \in D[/tex] met [tex]0<|x|< \delta[/tex] geldt [tex]0<|f(x)-1|< \epsilon[/tex]. Beschouw bvb [tex]\epsilon={\left(\frac{-1}{t}\right)}^{\left(\frac{-1}{t}\right)}[/tex] met [tex]t\ge 3[/tex], dan voldoet [tex]\delta>t[/tex]; andere gevallen voor [tex]\epsilon[/tex] zijn eenvoudig te behandelen.
