Het vermenigvuldigen van twee reeksen gaat hetzelfde als het vermenigvuldigen van 2 polynomen.
\((a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)\)
\(=a_0(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+a_1x(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+a_2x^2(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+...\)
\(=a_0b_0+a_0b_1x+a_0b_2x^2+...+a_1b_0x+a_1b_2x^2+...+a_2b_0x^2+a_2b_1x^3+...\)
Wat men nu nog doet is deze machtreeks terug op volgorde zetten:
\(=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+...\)
Als je nu goed kijkt is er een 'trucje' om het resultaat onmiddelijk op te schrijven, zoals Bessie al vertelde.
Elke term van de eerste reeks wordt vermenigvuldigd met elke term van de tweede reeks.
Bv de x
3-term van de eerste reeks vermenigvuldigd met de x
5 van de tweede reeks, zal aanleiding geven tot een x
8-term in de uitkomst. Maar ook de x
2-term van de eerste reeks en de x
6-term van de tweede reeks geven aanleiding tot een x
8-term.
De uiteindelijke coëfficiënt voor x
8 in de uitkomst, zal het product zijn van de coëfficiënten voor de machten die als som 8 hebben.
De coëfficiënten van de uitkomst vindt je dus door elke macht te schrijven in alle mogelijke gehele combinaties:
x
0: 0=0+0
\(\rightarrow (a_0b_0)x^0\)
x
1: 1=1+0 en 0+1
\(\rightarrow (a_1b_0+a_0b_1)x^1\)
x
2: 2=2+0 en 0+2 en 1+1
\(\rightarrow (a_2b_0+a_0b_2+a_1b_1)x^2\)
x
3: 3=3+0 en 0+3 en 2+1 en 1+2 (...)
...
Als je dit toepast vindt je meteen de gesorteerde uitkomst.
Lukt het nu om dit toe te passen op jouw voorbeeld van
\((sin{x})\frac{1}{1+x}\)
Het vermenigvuldigen van twee reeksen gaat hetzelfde als het vermenigvuldigen van 2 polynomen.
[tex](a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)[/tex]
[tex]=a_0(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+a_1x(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+a_2x^2(b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3+...)+...[/tex]
[tex]=a_0b_0+a_0b_1x+a_0b_2x^2+...+a_1b_0x+a_1b_2x^2+...+a_2b_0x^2+a_2b_1x^3+...[/tex]
Wat men nu nog doet is deze machtreeks terug op volgorde zetten:
[tex]=(a_0b_0)+(a_0b_1+a_1b_0)x+(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)x^2+...[/tex]
Als je nu goed kijkt is er een 'trucje' om het resultaat onmiddelijk op te schrijven, zoals Bessie al vertelde.
Elke term van de eerste reeks wordt vermenigvuldigd met elke term van de tweede reeks.
Bv de x[sup]3[/sup]-term van de eerste reeks vermenigvuldigd met de x[sup]5[/sup] van de tweede reeks, zal aanleiding geven tot een x[sup]8[/sup]-term in de uitkomst. Maar ook de x[sup]2[/sup]-term van de eerste reeks en de x[sup]6[/sup]-term van de tweede reeks geven aanleiding tot een x[sup]8[/sup]-term.
De uiteindelijke coëfficiënt voor x[sup]8[/sup] in de uitkomst, zal het product zijn van de coëfficiënten voor de machten die als som 8 hebben.
De coëfficiënten van de uitkomst vindt je dus door elke macht te schrijven in alle mogelijke gehele combinaties:
x[sup]0[/sup]: 0=0+0 [tex]\rightarrow (a_0b_0)x^0[/tex]
x[sup]1[/sup]: 1=1+0 en 0+1 [tex]\rightarrow (a_1b_0+a_0b_1)x^1[/tex]
x[sup]2[/sup]: 2=2+0 en 0+2 en 1+1 [tex]\rightarrow (a_2b_0+a_0b_2+a_1b_1)x^2[/tex]
x[sup]3[/sup]: 3=3+0 en 0+3 en 2+1 en 1+2 (...)
...
Als je dit toepast vindt je meteen de gesorteerde uitkomst.
Lukt het nu om dit toe te passen op jouw voorbeeld van [tex](sin{x})\frac{1}{1+x}[/tex]
