Mijn probleem ligt bij het volgende stelsel van gekoppelde niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Ik ben geïnteresseerd in het vinden van p=p(r ):
\(\frac{dp}{dr}=-\frac{(p+\rho)8\pi G p r}{1-8Gm(r )}\)
(1)
\( \frac{dm}{dr}=2\pi\rho r \)
(2)
\( \rho=\left(\frac{p}{\kappa}\right)^{2/3} \)
(3)
Met randvoorwaarden:
\( m(r=R)=M; \quad p(r=R)=0 \)
(4)
G en kappa zijn constanten. De volgende oplosmethode heb ik al geprobeerd. Met de kettingregel kan ik schrijven:
\(\frac{dp}{dm}=\frac{dp}{dr}\frac{dr}{dm}\)
.
Met deze uitdrukking kan ik (1) en (2) combineren. Verder vul ik relatie (3) in. Dan vind ik de volgende differentiaalvergelijking:
\(\frac{dp}{dm}=-\left(\frac{\kappa}{p}\right)^{2/3}\frac{((\frac{p}{\kappa})^{2/3}+p)4Gp}{1-8Gm}\)
Als ik deze oplos, kom ik uit op:
\((1-8Gm)^{-1/2}=C\frac{\kappa(1+\kappa\left(\frac{p}{\kappa}\right)^{1/3})^3}{p}\)
met C een constante. Echter, met deze vergelijking zie ik al direct dat ik niet aan de randvoorwaarden (4) kan voldoen. Kan iemand me misschien verder helpen? In principe kan ik wel deze uitdrukking terug invullen in (1) en dan p=p(r ) vinden, maar dan krijg ik nog steeds problemen bij het toepassen van de randvoorwaarden.
Ik denk dat er een slimmere manier moet zijn om p=p(r ) te kunnen vinden... ziet iemand die toevallig?
Mijn probleem ligt bij het volgende stelsel van gekoppelde niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Ik ben geïnteresseerd in het vinden van p=p(r ):
[tex]\frac{dp}{dr}=-\frac{(p+\rho)8\pi G p r}{1-8Gm(r )}[/tex] (1)
[tex] \frac{dm}{dr}=2\pi\rho r [/tex] (2)
[tex] \rho=\left(\frac{p}{\kappa}\right)^{2/3} [/tex] (3)
Met randvoorwaarden:
[tex] m(r=R)=M; \quad p(r=R)=0 [/tex] (4)
G en kappa zijn constanten. De volgende oplosmethode heb ik al geprobeerd. Met de kettingregel kan ik schrijven:
[tex]\frac{dp}{dm}=\frac{dp}{dr}\frac{dr}{dm}[/tex].
Met deze uitdrukking kan ik (1) en (2) combineren. Verder vul ik relatie (3) in. Dan vind ik de volgende differentiaalvergelijking:
[tex]\frac{dp}{dm}=-\left(\frac{\kappa}{p}\right)^{2/3}\frac{((\frac{p}{\kappa})^{2/3}+p)4Gp}{1-8Gm}[/tex]
Als ik deze oplos, kom ik uit op:
[tex](1-8Gm)^{-1/2}=C\frac{\kappa(1+\kappa\left(\frac{p}{\kappa}\right)^{1/3})^3}{p}[/tex]
met C een constante. Echter, met deze vergelijking zie ik al direct dat ik niet aan de randvoorwaarden (4) kan voldoen. Kan iemand me misschien verder helpen? In principe kan ik wel deze uitdrukking terug invullen in (1) en dan p=p(r ) vinden, maar dan krijg ik nog steeds problemen bij het toepassen van de randvoorwaarden.
Ik denk dat er een slimmere manier moet zijn om p=p(r ) te kunnen vinden... ziet iemand die toevallig?
