Vanwege een discussie over de afstand van de regenboog, in een ander forum ([url=https://physics.stackexchange.com/questions/436618/is-it-possible-to-calculate-the-distance-to-a-rainbow-by-using-the-parallax-meth/436642#436642]1[/url]), zocht ik een foto van de maan in een regenboog. Ik vond er een op een "forensic physics" webpagina, waar onderzocht werd of de foto echt was. De analyse op die pagina is zo mooi dat ik hier de link geef: [url=https://www.lockhaven.edu/~dsimanek/puzzles/forensic.htm]klik[/url].

Een geheel andere verklaring voor niet-cirkelvormige regenbogen op foto's kwam ik tegen in een merkwaardig artikel ([url=http://graphics.ucsd.edu/~henrik/papers/physically_based_simulation_of_rainbows.pdf]link[/url]) dat beweert dat de bovenkant van de regenboog omlaag kan zakken door afgeplatte regendruppels. Het artikel onderzoekt dat in verband met "twinned" regenbogen.
 
Een twinned rainbow ([url=http://www.atoptics.co.uk/rainbows/twin1.htm]foto[/url]) is een zeldzame regenboog met een gesplitste bovenkant waarbij een van beide afgeplat is. Dat wordt verklaard doordat een deel van de regenbui bestaat uit grote druppels die afgeplat worden door hun val door de lucht; de rest van de bui bestaat uit kleine sferische druppels. Het artikel is een evaluatie van nieuwe ray tracing software voor non-sferische druppels. De resultaten zijn grafisch samengevat in hun figuren 13 t/m 16. De meest voorkomende druppeldiameter in regen is 0.4 tot 1 mm. Boven de 0.4 mm begint de onderkant van de vallende druppel afplatting te vertonen. Deze afplatting is gering, maar hij resulteert in een veel sterkere afplatting van de bovenkant van de regenboog.
 
De afplatting van de boog is sterker voor de primaire regenboog dan voor de secundaire. Misschien is daarom in de foto van bericht #1 de afstand tussen de primaire en secundaire boog vergroot. Het artikel benoemt niet met hoeveel procent de verticale diameter van de primaire regenboog krimpt, maar als ik het schat in figuur 13 is het 10% voor druppels van 0.5 mm. Ik ben verbaasd over dat grote krimppercentage, ook zonder twinned regenboog zou je dat moeten kunnen meten, bijvoorbeeld op foto's. Soms zal de veranderde afstand tussen de toppen van de primaire en secundaire regenboog beter meetbaar zijn, die neemt ongeveer 40% toe. De druppeldiameter van 0.5 mm komt zoveel voor in regen dat de vraag rijst of regenbogen in het algemeen wel cirkels zijn.

Als het groothoeklenseffect (tonvormige vertekening) bij de foto van bericht #1 de hoofdrol speelde dan zou de afstand tussen de bogen linksboven kleiner zijn dan in het midden, maar dat is het omgekeerde van mijn meetresultaat.

 

De foto van bericht #1 is volgens de metadata gemaakt met een EOS 1000D en f = 18 mm, de kleinste brandpuntsafstand van de zoomlens. Dan is het beeldveld bij deze camera 64°x45°. Op grond van de afgebeelde regenboog schat ik dat de foto een uitsnede is van 45°x35°, dus enkele randen met het sterkste groothoeklenseffect zijn verwijderd.

 
Terzijde: er zou ook uitrekking in de periferie moeten optreden bij [i]centrale[/i] foto's, waarbij de camera gericht is op het antisolaire punt, zoals bij foto's van een 360° regenboog. Volgens de geometrische optica geldt in het beeldvlak dat de diameter van de regenboogafbeelding evenredig is met tan β, zodat de diameter van de secundaire regenboog 1.42 keer zo groot zou moeten zijn als die van de primaire (wegens tan 52° / tan 42° = 1.42). Maar bij foto's op internet zie je vaak een verhouding van ongeveer 1.25. [[url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circular_rainbow.jpg]1[/url],[url=https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Double-alaskan-rainbow.jpg]2[/url]], en dat komt wonderlijk dicht bij de waarde van 52°/42° = 1.24. Dat kan wel een groothoeklenseffect zijn.

Dat is denk ik vooral gevolg van vervorming door de lens van het fototoestel. Zeker compact camera's op groothoek bereik geven meestal aanzienlijke vervormingen. Normaliter is dat niet storend, en soms zelfs esthetisch wenselijk (mooie effecten in deel bewolkte luchten etc).

Als je met zo'n camera een foto maakt van een skyline zie je het probleem echter wel: de gebouwen aan de buitenkant lijken 'krom' te zijn waarbij de bovenkant naar het midden van de foto buigt. Bij zulke foto's valt het direct op, maar bij een landschap zonder gebouewen die per se verticaal behoren te zijn merk je een vervorming van ettelijke procenten echt niet op, tenzij je gaat meten ;)

[quote="Herman66"]Waarom is een regenboog eigenlijk zo mooi rond?[/quote]
 

Is de regenboog op foto's wel eens niet-cirkelvormig? Op de foto van bericht #1 is de afstand tussen de gele primaire boog en de gele secundaire boog volgens mijn geodriehoek bovenaan een paar procent groter dan rechts.

 

Misschien komt dat doordat de foto 'scheef' is genomen. Het middelpunt van de foto is een stukje van de primaire boog, dus de foto is ongeveer 42° excentrisch t.o.v. het antisolaire punt genomen. Het beeldvlak staat 42° scheef op de as van de regenboogkegel. Het beeld van de regenboog is de snijlijn van het beeldvlak en de regenboogkegel, in dit geval een ellips.

 

[attachment=0]Regenboog2.png[/attachment]

 

Voor de eenvoud ben ik begonnen met een berekende grafiek van de situatie waarin het antisolaire punt, A, en het richtpunt van de camera, B, allebei op de horizon liggen. De hoekafstand tussen beide punten is α, en de halve diameter van de regenboog is β. Het gebruikte xyz-coordinatenstelsel heeft het middelpunt van de lens als oorsprong, en de as van de regenboogkegel als z-as. De y-as is de verticaal. De x-as is de horizontaal die loodrecht op de z-as staat. Er is ook een s-as, een scheve hulpas, die de horizontale afstand in het beeldvlak voorstelt. Er geldt z = (1 - x sin α) / cos α, y = √ ((z tan β)[sup]2 [/sup]- x[sup]2[/sup]), en s = √ (x[sup]2 [/sup]+ (z - 1 / cos α)[sup]2[/sup]). 

 

In de figuur is de (s,y)-puntenverzameling getekend in oranje voor α=42° en β=42° of 52°, als beeld van de primaire en secundaire regenboog waarbij de voet van de primaire regenboog het richtpunt van de camera is. Ter vergelijking is het beeld voor α=0° in groen weergegeven. De oranje bogen zijn ellipsen die sterk verschillen van cirkels.

 

Links in de figuur bevindt zich een zwart rechthoekig kader dat de omgeving van punt B bevat, 60° gekanteld. Het kader is 40° breed en 30° hoog, net als de foto van bericht #1. De gekantelde grafiek laat hetzelfde zien als wat met de geodriehoek op de foto bleek. De afstand tussen de primaire en secundaire boog is bovenaan een paar procent groter dan rechts (circa 4%).

 

Een ander detail waarin de scheve foto verschilt van een centrale foto is dat loodlijnen op de boog elkaar niet meer snijden in het antisolaire punt A.

De stralengang in een regendruppel wordt soms nagebootst in een met water gevulde glazen kolf.([url=http://www.warren-wilson.edu/~dcollins/PhysPhotOfWeek/2010PPOW/20101029Rainbow/]1[/url]) Wat zou de invloed zijn van het glazen omhulsel op de halve diameter van de regenboog, φ[sub]0[/sub]? Resulteert het in de φ[sub]0[/sub] van een blote waterdruppel, of van een glazen bol, of geen van beide?

 

Ik heb het nagebootst in een met water gevulde PET fles in plaats van een glazen kolf. De brekingsindices van PET en glas zijn ongeveer gelijk. In een donkere kamer heb ik hem beschenen met een zaklantaarn vanuit verschillende richtingen φ, tussen 25° en 75°. In de animatie zijn de beelden achter elkaar geplakt. De primaire φ[sub]0[/sub] blijkt ongeveer 48° te zijn, en de secundaire φ[sub]0[/sub] ongeveer 54°. Wat φ[sub]0[/sub] betreft lijkt de fles met water dus sterk op een waterdruppel, en helemaal niet op een glazen bol, want dan zou de primaire φ[sub]0[/sub] 22° zijn en de secundaire 89°. Achteraf gezien klopt het ook wel: voor de Wet van Snellius blijkt een dun omhulsel verwaarloosbaar te zijn, net als bij een coating op een lens. Het dunne omhulsel heeft alleen invloed op de intensiteit van de lichtstraal.

 

[attachment=2]fles.gif[/attachment]  [attachment=1]fles2.gif[/attachment]

 

Ik was verwonderd over het verschijnen van de reflecties A en E, maar uit figuur 2 blijkt dat B altijd gepaard moet gaan met A, en D met E. Zie de snijpunten van de rode curve met de horizontale lijnen φ=40° en φ=60°.

 

[attachment=0]regenboog3.png[/attachment]
[i]Figuur 2 (van bericht #4) naar links toe uitgebreid met de negatieve x-as. Alle curves zijn puntsymmetrisch t.o.v. de oorsprong wegens φ(-i) = -φ(i).[/i]

Laat het dan maar een mooie foto in een denkbeeldige wereld zijn. :)

 

Valt er een situatie te bedenken waarin neerslag een brekingsindex van 1.312 heeft voor [i]zichtbaar [/i]licht? IJs heeft deze brekingsindex bij een golflengte van 520 nm (groen), volgens wolfram|alpha.([url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=refractive+index+ice+-20C&a=*MC.~-_*Formula.dflt-&f2=520+nm&f=Ice1hRefractiveIndex.lambda_520+nm]1[/url]) Dus in de denkbeeldige wereld waarin een hagelbui bestaat uit glasheldere sferische ijskorrels, vallen de primaire en secundaire hagelboog samen.

 

[attachment=0]rainbow2a.png[/attachment]

  

Een variatie op de vraag van het startbericht is: kun je zonder formules beredeneren dat de rode kanten van primaire en secundaire [i]regen[/i]boog naar elkaar toe gekeerd zijn? Daarop is het antwoord dus nee, want bij een iets kleinere brekingsindex van water was het andersom geweest.

Of je daar een mooie foto van kunt maken valt nog te bezien. Er zijn natuurlijk camera's die 1600 nm kunnen registreren, maar de beeldend daarvan zijn meestal zwart-wit. Je zou een camera moeten hebben die het verschil kan zien tussen zeg 1400, 1500 en 1600 nm, of in ieder geval kan berekenen door tenminste twee IR waardes te meten en te combineren tot een false-color plaatje.

Met een standaard ccd/cmos sensor (zonder filter) kom je tot zeg 1100nm. Warmtebeeldcamera's werken op veel langere golflengtes. Ik vrees dat je iets tamelijk bijzonders moet hebben om hier een foto van te maken - het heeft verder geen praktische toepassing voor zover ik weet.

[attachment=1]rainbow.png[/attachment] [i]Fig 1[/i]
De grafiek van de hoek φ[sub]0[/sub] als functie van de brekingsindex n is een dalende curve, voor de primaire regenboog (k=1). De buitenste kleur van de primaire regenboog is dus de kleur met de laagste brekingsindex, dat is rood. De eigenschap van water en veel andere transparante materialen dat rood een lagere brekingsindex heeft dan blauw is verklaarbaar met het Drude model ('normale dispersie' voor zichtbaar licht, [url=https://physics.stackexchange.com/questions/351164/why-do-high-frequencies-have-a-larger-deflection-through-a-prism-than-smaller-fr/351177#351177]1[/url] [url=https://physics.stackexchange.com/q/65817]2[/url] [url=https://archive.cnx.org/contents/c716baeb-ddb6-433d-8d1e-9d6d923295d9@2/section-4-2-dielectric-and-its-physics]3[/url] [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Permittivity#Complex_permittivity]4[/url]). 
 
[attachment=0]brekingsindex.png[/attachment] [i]Fig 2 [/i] B[i]ron: [url=http://www1.lsbu.ac.uk/php-cgiwrap/water/pfp.php3?page=http://www1.lsbu.ac.uk/water/dielectric_constant.html]LSBU[/url][/i]
 
Nieuwe vraag: raken de primaire en secundaire regenboog elkaar ergens in het infrarood? De formule voor de straal van de regenboog voor k=1 en k=2 levert figuur 1 op. De primaire en secundaire regenboog zijn even groot (45°) bij n=1.312. Die brekingsindex heeft water bij een golflengte van ongeveer 1600 nm ([url=http://www.philiplaven.com/p20.html]1[/url]). Dat is in het near-infrared, dus misschien bestaat er wel een infraroodcamera die een mooie foto kan maken van een primaire en secundaire regenboog die elkaar raken.

  

De afstand tussen de primaire en secundaire regenboog is een erg nauwkeurige indicator voor de brekingsindex van water, bij een bepaalde golflengte.

[quote][tex]q=\sqrt \frac {(k+1)^2-n^2}{(k+1)^2-1}[/tex]
[tex]\delta_0 = 2 \arcsin q -2(k+1)\arcsin \frac{q}{n} + k \pi[/tex] 

[tex]\phi_0=\pi-\delta_0[/tex]   
 
Dit is de formule voor de halve diameter van de regenboog, φ[sub]0[/sub].[/quote] 
Bij nader inzien vertelt die formule nog iets bijzonders:

- als brekingsindex n > 2 dan verdwijnt de primaire regenboog, want bij k=1 bestaat er dan geen q, en is er geen i waarvoor dδ/di = 0. Dus als regendruppels van [i]diamant[/i] (n=2.4) zouden zijn dan was er geen primaire regenboog.
- als n > 3 dan is ook de secundaire regenboog afwezig, want bij k=2 bestaat er dan geen q, en is er geen i waarvoor dδ/di = 0. Zo zou het zijn als regendruppels van [i]unobtainium [/i]waren.
- algemeen: als n > k+1 dan verdwijnt de regenboog van orde k.

Het resultaat dat er met de regenboog bijzondere dingen gebeuren bij alle gehele waarden van n is intrigerend. Gehele waarden van n lijken op het eerste gezicht fysisch niets bijzonders. Maar het resultaat dat er bij iedere gehele waarde van n een regenboog verdwijnt is zo simpel van vorm dat ik me afvraag of het resultaat ook veel eenvoudiger kan worden verkregen, bijvoorbeeld zonder wet van Snellius.

[quote="klazon"]
Maar vaak zie je een regenboog op kilometers afstand, en dan zal de top van de boog ook op kilometers hoogte staan.
[/quote]
Jamaar, hoe weet jij dat die regenboog op kilometers afstand staat? Jij denkt dat die op kilometers afstand staat, omdat beide ogen de regenboog op dezelfde hoek van 42 graden zien. De parallax is dus altijd oneindig. Maar dat zegt helemaal niets over op welke afstand hij ook effectief gevormd wordt! De regenboog op 10m afstand ziet er ook uit alsof hij kilometers verder staat. Het is maar door te experimenteren met een luifel dat duidelijk wordt hoe ver hij echt gevormd wordt.

[quote="317070"]Ik vraag me wel af of de belangrijkste bijdrage van de verre of van de dichte druppels zou komen.[/quote]

Het gaat om de bijdrage aan de oppervlaktehelderheid van de regenboog (waarbij  oppervlak = ruimtehoek). Dan is de bijdrage van 1 m[sup]3[/sup] lucht (kubus) in de verte gelijk aan de bijdrage van 1 m[sup]3[/sup] lucht in de nabijheid, mits het er even hard regent. Bij een 2x zo grote afstand is de ontvangen lichthoeveelheid per druppel 4x zo klein, en de ruimtehoek van het luchtpakket is 4x zo klein, dus de oppervlaktehelderheid is gelijk.

[quote="317070"]
... en kwam tot de conclusie dat de regenboog eigenlijk maar op een goede 10m afstand was.
[/quote]
Dat zou goed kunnen, als je zelf midden in de regenbui staat. Als ik de tuin sproei, dan zie ik ook een regenboog.
Maar vaak zie je een regenboog op kilometers afstand, en dan zal de top van de boog ook op kilometers hoogte staan.

[quote="klazon"]
1km? 5km? Ik heb eigenlijk geen idee.
[/quote]
Ik heb het ooit eens geëxperimenteerd met een luifel en dus tot welke afstand je de (onderkant van de) regenboog kon zien, en kwam tot de conclusie dat de regenboog eigenlijk maar op een goede 10m afstand was.
 
Het ding is uiteraard dat de lichtstralen vanuit een volledige kegel komen aan druppels. Dus waar wij een boog van rood licht zien, is het eigenlijk een kegel aan druppels die dat rood licht in de richting van je oog stuurt. Ik vraag me wel af of de belangrijkste bijdrage van de verre of van de dichte druppels zou komen.

Die hoek (bv. 42 gaden) geldt in alle richtingen, dus niet alleen 42 graden boven de horizon (als de Zon aan de andere zijde net opkomt of ondergaat), maar ook links, rechts en schuin. Dat komt door de bolvorm van zo'n regendruppel. Het gevolg is een cirkelboog. Het mooist is dat te zien bij de halo rond de Maan op een mistige avond, dat is ook een soort regenboog, maar nu volledig zichtbaar.
 
[attachment=1]naamloos.png[/attachment]
 
[attachment=0]Rainbow-explanation1-400x283.jpg[/attachment]
 
Zie de uitleg van Walter Lewin, die vertelt het beter dan ik zou kunnen.