door Th.B » zo 03 jan 2016, 18:32
Dat bewijs op die site is ook wel enigszins krakkemikkig, maar goed.
Op de eerste regel staat niet dat A gesloten en begrensd is in een zekere B, maar er staat dat A bevat is in een gesloten en begrensde verzameling B. We gaan bewijzen dat A een verdichtingspunt heeft in B (en dus in het bijzonder in R).
Stel van niet. Een verdichtingspunt P van A is een punt waarvoor geldt: voor alle ε > 0 bestaat de doorsnede van de ε-bol (in R) rond P met A niet alleen uit P. De negatie van 'A heeft een verdichtingspunt in B' is: voor alle P in B geldt, er is een ε > 0 zodat de doorsnede van de ε-bol rond P met A alleen maar P bevat. (*)
Merk op dat de schrijver van het bewijs dus A en B heeft omgedraaid, dat klopt volgens mij dus niet.
We willen graag de stelling van Heine-Borel toepassen, dus het zou fijn zijn als we naar een of andere open overdekking van B toe kunnen werken. We kiezen de volgende: we pakken voor alle P in B een open bol rond P met eigenschap (*) en nemen de vereniging over alle P in B. Dat is duidelijk een open overdekking van B, dus kies een eindige deeloverdekking. Deze eindige deeloverdekking bestaat uit eindig veel bollen die ten hoogste 1 element van A bevatten, vanwege (*). Ga dit na!
Dan volgt overduidelijk dat A eindig is, maar dat was per aanname juist niet het geval. Daarmee is het bewijs afgerond.
Dat bewijs op die site is ook wel enigszins krakkemikkig, maar goed.
Op de eerste regel staat niet dat A gesloten en begrensd is in een zekere B, maar er staat dat A[i] bevat [/i]is in een gesloten en begrensde verzameling B. We gaan bewijzen dat A een verdichtingspunt heeft in B (en dus in het bijzonder in R).
Stel van niet. Een verdichtingspunt P van A is een punt waarvoor geldt: voor alle ε > 0 bestaat de doorsnede van de ε-bol (in R) rond P met A niet alleen uit P. De negatie van 'A heeft een verdichtingspunt in B' is: voor alle P in B geldt, er is een ε > 0 zodat de doorsnede van de ε-bol rond P met A alleen maar P bevat. (*)
Merk op dat de schrijver van het bewijs dus A en B heeft omgedraaid, dat klopt volgens mij dus niet.
We willen graag de stelling van Heine-Borel toepassen, dus het zou fijn zijn als we naar een of andere open overdekking van B toe kunnen werken. We kiezen de volgende: we pakken voor alle P in B een open bol rond P met eigenschap (*) en nemen de vereniging over alle P in B. Dat is duidelijk een open overdekking van B, dus kies een eindige deeloverdekking. Deze eindige deeloverdekking bestaat uit [i]eindig veel[/i] bollen die ten hoogste 1 element van A bevatten, vanwege (*). [i]Ga dit na![/i]
Dan volgt overduidelijk dat A eindig is, maar dat was per aanname juist niet het geval. Daarmee is het bewijs afgerond.
