door Professor Puntje » wo 01 apr 2020, 23:20
Die lichaamsuitbreidingen worden in het boek ook besproken.
Eens zien of ik de definitie nu kan doorgronden door haar in stukjes te knippen, en dan in mijn eigen woorden te beschrijven wat ik daarin lees:
Definition 9.2. For a polynomial equation without multiple solutions whose coefficients lie in a field K,
De definitie heeft betrekking op vergelijkingen p(x) = 0 van de vorm a
nx
n + a
n-1x
n-1 + ... + a
2x
2 + a
1x + a
0 = 0 waarbij alle coëfficiënten a
k afkomstig zijn uit een lichaam K en alle n oplossingen x
k van de vergelijking van elkaar verschillend zijn.
the Galois group (over the field K) is the set of all permutations σ in the symmetric group Sn
Bij ieder van de boven genoemde vergelijkingen p(x) = 0 wordt een bijbehorende deelgroep van de groep van permutaties S
n gevormd die bestaat uit precies die permutaties σ die aan de onderstaande voorwaarde voldoen. Die zo gevormde deelgroep van S
n noemen we de
galoisgroep van p over het lichaam K.
that permute the indices 1,..., n of the solutions x1,..., xn in such a way that for every polynomial h(X1,..., Xn) with coefficients in K and h(x1,..., xn) = 0, one has h(xσ(1),..., xσ(n)) = 0.
Vorm nu de verzameling V
K,n van alle polynomen h met n variabelen X
1, X
2, ... , X
n waarbij de coëfficiënten van die polynomen afkomstig zijn uit het lichaam K. De voorwaarde waaraan de permutaties σ in de galoisgroep dan moeten voldoen is dan dat ze zodanig moeten zijn dat voor
iedere polynoom h uit V
K,n geldt dat:
\( \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{h}(x_1 , x_2 , ... , x_n) = 0 \Rightarrow \mathrm{h}(x_{\sigma(1)} , x_{\sigma(2)} , ... , x_{\sigma(n)} ) = 0. \)
Waarin x
1, x
2, ... , x
n de oplossingen van onze oorspronkelijke vergelijking p(x) = 0 zijn.
Die lichaamsuitbreidingen worden in het boek ook besproken.
Eens zien of ik de definitie nu kan doorgronden door haar in stukjes te knippen, en dan in mijn eigen woorden te beschrijven wat ik daarin lees:
[quote] [b]Definition 9.2.[/b] For a polynomial equation without multiple solutions whose coefficients lie in a field K, [/quote]
De definitie heeft betrekking op vergelijkingen p(x) = 0 van de vorm a[sub]n[/sub]x[sup]n[/sup] + a[sub]n-1[/sub]x[sup]n-1[/sup] + ... + a[sub]2[/sub]x[sup]2[/sup] + a[sub]1[/sub]x + a[sub]0[/sub] = 0 waarbij alle coëfficiënten a[sub]k[/sub] afkomstig zijn uit een lichaam K en alle n oplossingen x[sub]k[/sub] van de vergelijking van elkaar verschillend zijn.
[quote] the [i]Galois group[/i] (over the field K) is the set of all permutations σ in the symmetric group S[sub]n[/sub] [/quote]
Bij ieder van de boven genoemde vergelijkingen p(x) = 0 wordt een bijbehorende deelgroep van de groep van permutaties S[sub]n[/sub] gevormd die bestaat uit precies die permutaties σ die aan de onderstaande voorwaarde voldoen. Die zo gevormde deelgroep van S[sub]n[/sub] noemen we de [i]galoisgroep[/i] van p over het lichaam K.
[quote]that permute the indices 1,..., n of the solutions x[sub]1[/sub],..., x[sub]n[/sub] in such a way that for every polynomial h(X[sub]1[/sub],..., X[sub]n[/sub]) with coefficients in K and h(x[sub]1[/sub],..., x[sub]n[/sub]) = 0, one has h(x[sub]σ(1)[/sub],..., x[sub]σ(n)[/sub]) = 0.[/quote]
Vorm nu de verzameling V[sub]K,n[/sub] van alle polynomen h met n variabelen X[sub]1[/sub], X[sub]2[/sub], ... , X[sub]n[/sub] waarbij de coëfficiënten van die polynomen afkomstig zijn uit het lichaam K. De voorwaarde waaraan de permutaties σ in de galoisgroep dan moeten voldoen is dan dat ze zodanig moeten zijn dat voor [i]iedere[/i] polynoom h uit V[sub]K,n[/sub] geldt dat:
[tex] \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{h}(x_1 , x_2 , ... , x_n) = 0 \Rightarrow \mathrm{h}(x_{\sigma(1)} , x_{\sigma(2)} , ... , x_{\sigma(n)} ) = 0. [/tex]
Waarin x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], ... , x[sub]n[/sub] de oplossingen van onze oorspronkelijke vergelijking p(x) = 0 zijn.
