De kettingregel is niet te begrijpen zonder het begrip samengestelde functie:
Wat is een samengestelde functie?
Vb:
\(f(x)=\sqrt{2x}\)
Als je functiewaarden wil berekenen is de procedure:
kies x, bereken 2x, bepaal de wortel. Schematisch:
\(x\rightarrow 2x\rightarrow \sqrt{2x}\)
Merk op dat we hier twee functies in volgorde hebben.
p(x)=2x en q(x)=sqrt(x), dus: f(x)=q(p(x))=q(2x)=sqrt(2x) (eerst p dan q). We noemen dit een keten/ketting van functies.
Merk op dat we 'langere' ketens kunnen hebben, vb:
\(g(x)=\sqrt[3]{2x^2}\)
\(x\rightarrow x^2\rightarrow 2x^2\rightarrow \sqrt[3]{2x^2}\)
enz.
Differentieer nu f, hoe gaat dat:
\(x\rightarrow 2x\rightarrow \sqrt{2x}\)
Differentieer eerst sqrt(2x) naar 2x dat geeft:
\(\frac 1 {2\sqrt{2x}}\)
Daarna, 2x naar x, dat geeft: 2
De kettingregel zegt dan: de afgeleide van f(x) naar x is het product van de beide afgeleiden,dus:
\(f'(x)=\frac 1 {2\sqrt{2x}}\cdot 2\)
Controle:
\(f(x)=\sqrt{2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}\Rightarrow f'(x)=\sqrt{2}\cdot \frac 1 {2\sqrt{x}}\)
Laat zien dat beide afgeleiden gelijk zijn.
Op dezelfde wijze g:
\(x\rightarrow x^2\rightarrow 2x^2\rightarrow \sqrt[3]{2x^2}\)
\(g'(x)=\frac 1 3 (2x^2)^{1/3-1}\cdot 2\cdot 2x=\frac 2 3 \frac{\sqrt[3]{2x^2}} x\)
Voer zelf de controle uit ...
