Een alternatieve aanpak is om even getallen n als n+0h te schrijven, en oneven getallen n als 0+nh. Dat leidt vermoedelijk tot een vereenvoudiging van het systeem, maar de bottleneck zit hem daarin dat het voor even getallen g in een Collatz-rij zonder dat expliciet uit te rekenen lastig te zeggen is of het volgende getal g/2 in de Collatz-rij een even of oneven getal gaat worden. Dat quasi-random gedrag wordt door de gevloerde getallen niet getackeld.

Omgekeerd genereert ook ieder positief natuurlijk getal een rij nullen en enen afhankelijk van of er op de n-de stap van de Collatz-rij door twee gedeeld moet worden of met drie vermenigvuldigd en een opgeteld moet worden. Voorbeeld:

5 (1) -> 16 (0) -> 8 (0) -> 4 (0) -> 2 (0) -> 1 (1) -> 4 (0) -> ...

Nu kun je je ook afvragen of er bij een rij nullen en enen steeds een begingetal voor een Collatz-rij kan worden gevonden dat een corresponderende rij nullen en enen oplevert. Het lijkt niet dat dat altijd gaat, maar het moet uiteraard soms wel lukken.

Misschien hebben we hier iets aan: [itex] \mathrm{coll}(x,\delta) = (2 + \delta)^{-1 + 2 \delta} \cdot x + \delta [/itex]

Dan hebben we:

[itex] \mathrm{coll}(x,0) = (2 + 0)^{-1 + 2 \cdot 0} \cdot x + 0 = \frac{x}{2} [/itex]
[itex] \mathrm{coll}(x,1) = (2 + 1)^{-1 + 2 \cdot 1} \cdot x + 1 = 3x + 1 [/itex]

Zou leuk zijn, het wordt dan een gratis pdf-je. Maar ik heb nu pas een hoofdstuk af, en ben (even?) met de verdere ontwikkeling vastgelopen. De basistheorie lijkt wel te kloppen, maar ik zie nog geen interessante toepassingen.

Mocht je er ooit een boek van maken, PP, dan kun je 'm ook mooi in de catalogus van Sciencetalk zetten:

https://sciencetalk.nl/boeken/

[quote="Professor Puntje" post_id=1258690 time=1744479846 user_id=76038]
[itex] \mathfrak{C}(g) = (\mathcal{F}(\frac{1}{2}) \cdot g) \cdot [ \mathcal{F}(1) + g \odot \underrightarrow{1} ] \,\, + \,\, ( \mathcal{F}(3) \cdot g + \mathcal{F}(1) ) \cdot ( g \odot \overrightarrow{1} ) [/itex]

[itex] \mathfrak{C}^{(1)}(g) = g [/itex]

[itex] \mathfrak{C}^{(n+1)}(g) = \mathfrak{C} \left (\mathfrak{C}^{(n)}(g) \right ) [/itex]

Waarin g standaard-getallen zijn, en [itex] \mathfrak{C}^{(n)}(g) [/itex] de n-de term in de Collatz-rij met startgetal g is.
[/quote]

Dit klopt zoals we gezien hebben, maar daarna lijkt het spaak te lopen. Immers (zie de pdf):

[quote]1.8. STELLING. De parallelle vermenigvuldiging is commutatief en associatief, maar niet dis-
tributief over de optelling.[/quote]

En dat maakt dat [itex] \mathfrak{C}^{(n)}(g) [/itex] voor grotere n al snel heel lelijk wordt, tenminste als je dat rechtstreeks via de iteraties uitrekent. Langs die heuristische weg met vervolgens natuurlijke inductie vind je dus geen bruikbare algemene formule. Maar hoe dan wel...?

De definitie van de Collatz-rijen voor standaard-getallen klopt dus, want deze definitie stemt wat de lengtes van de standaard-getallen betreft overeen met de bekende Collatz-rijen voor positieve natuurlijke getallen.

Maar hebben we hier ook iets aan in die zin dat we via de Collatz-rijen voor standaard-getallen iets meer te weten komen over de Collatz-rijen voor positieve natuurlijke getallen? De meest voor de hand liggende manier waarop dat het geval zou kunnen zijn is dat er een gesloten formule zou kunnen bestaan waarmee we de [i]termen[/i] van Collatz-rijen voor standaard-getallen [i]direct[/i] kunnen uitrekenen zonder nog de iteraties te hoeven gebruiken. Maar is zo'n formule wel mogelijk?

Tips en antwoorden zijn welkom?

Volgens 1.9. levert [itex] \mathcal{F}(n) [/itex] voor alle gehele getallen n een standaard-getal met lengte n op. En daarmee vinden dus ook bij alle positieve natuurlijke getallen n daarmee corresponderende standaard-getallen [itex] \mathcal{F}(n) [/itex] die we kunnen gebruiken als startgetallen voor in gevloerde getallen uitgevoerde Collatz-rijen. De termen van de Collatz-rijen in gevoerde getallen zijn dan in hun lengte gelijk aan de natuurlijke getallen van de gewone Collatz-rijen.

Is [itex] \mathfrak{C}(g) [/itex] voor standaard-getallen g steeds ook zelf weer een standaard-getal? Dat moet wel zo zijn wil de iteratie [itex] \mathfrak{C} [/itex] kunnen werken!

Laat: [itex] g \in \mathbb{S} [/itex].

Dan hebben we [itex] \mathcal{L}(g) \in \mathbb{Z} [/itex], en dan moet volgens het bewijs in het vorige berichtje ook: [itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) \in \mathbb{Z} [/itex].

Met behulp van 1.2. zien we dat [itex] \mathfrak{C}(g) \in \mathbb{R}_{\mathrm{F}} [/itex], dus geeft 1.4. dat: [itex] \mathcal{F}(\mathcal{L}(\mathfrak{C}(g))) = \mathfrak{C}(g) [/itex].

Maar volgens 1.9. levert [itex] \mathcal{F}(x) [/itex] voor alle gehele getallen x een standaard-getal op. Dus is [itex] \mathfrak{C}(g) [/itex] inderdaad voor alle standaard-getallen g ook zelf weer een standaard-getal.

[i]Gebruik a.u.b de in dit berichtje bijgevoegde update van het boekje voor de verwijzingen in onderstaand bewijs. [/i]

Voor standaard-getallen g geldt:

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g) ) = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{\mathcal{L}(g)}{2} & \mathrm{als} & \mathcal{L}(g) = even \\ 3 \mathcal{L}(g) + 1 & \mathrm{als} & \mathcal{L}(g) = oneven \end{array} \right . [/itex]


Bewijs:

Voor alle standaard-getallen g hebben we:

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \mathcal{L} \left ( (\mathcal{F}(\frac{1}{2}) \cdot g) \cdot [ \mathcal{F}(1) + g \odot \underrightarrow{1} ] \,\, + \,\, ( \mathcal{F}(3) \cdot g + \mathcal{F}(1) ) \cdot ( g \odot \overrightarrow{1} ) \right ) [/itex]

Wegens 1.18. wordt dat:

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \mathcal{L} \left ( (\mathcal{F}(\frac{1}{2}) \cdot g) \cdot [ \mathcal{F}(1) + g \odot (0 + -1h) ] \,\, + \,\, ( \mathcal{F}(3) \cdot g + \mathcal{F}(1) ) \cdot ( g \odot (0+1h) \right ) [/itex]

Herhaalde toepassing van 1.12. en 1.13. levert:

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \mathcal{L}( \mathcal{F}(\frac{1}{2}) \cdot g) \cdot [ \mathcal{F}(1) + g \odot (0 + -1h)) ] ) \,\, + \,\, \mathcal{L}( ( \mathcal{F}(3) \cdot g + \mathcal{F}(1) ) \cdot ( g \odot (0+1h)) ) [/itex]

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \mathcal{L}( \mathcal{F}(\frac{1}{2}) \cdot g) \cdot \mathcal{L}( \mathcal{F}(1) + g \odot (0 + -1h) ) \,\, + \,\, ( \mathcal{L}( \mathcal{F}(3) \cdot g + \mathcal{F}(1) ) \cdot \mathcal{L}( g \odot (0+1h)) [/itex]

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \mathcal{L}( \mathcal{F}(\frac{1}{2})) \cdot \mathcal{L}(g) \cdot \mathcal{L}( \mathcal{F}(1) +g \odot (0 + -1h)) \,\, + \,\, ( \mathcal{L}( \mathcal{F}(3) \cdot g ) + \mathcal{L}(\mathcal{F}(1)) ) \cdot \mathcal{L}( g \odot (0+1h)) [/itex]

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \mathcal{L}( \mathcal{F}(\frac{1}{2})) \cdot \mathcal{L}(g) \cdot ( \mathcal{L}( \mathcal{F}(1)) + \mathcal{L}(g \odot (0 + -1h)) \,\, + \,\, ( \mathcal{L}( \mathcal{F}(3)) \cdot \mathcal{L}( g ) + \mathcal{L}(\mathcal{F}(1)) ) \cdot \mathcal{L}( g \odot (0+1h)) [/itex]

Op grond van 1.1., 1.4. en 1.7. vinden we:

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g)) = \frac{1}{2} \cdot \mathcal{L}(g) \cdot ( 1 - \mathcal{R}(g)) \,\, + \,\, ( 3 \mathcal{L}(g) + 1 )\cdot \mathcal{R}( g ) [/itex]

Wegens 1.1. en 1.9. wordt dat:

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g) ) = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2} \cdot \mathcal{L}(g) & \mathrm{als} & \mathcal{R}(g)=0 \\ 3 \mathcal{L}(g) + 1 & \mathrm{als} & \mathcal{R}(g)=1 \end{array} \right . [/itex]

[itex] \mathcal{L}(\mathfrak{C}(g) ) = \left \{ \begin{array}{rcl} \frac{\mathcal{L}(g)}{2} & \mathrm{als} & \mathcal{L}(g) = even \\ 3 \mathcal{L}(g) + 1 & \mathrm{als} & \mathcal{L}(g) = oneven \end{array} \right . [/itex]

[itex] \Box [/itex]


[attachment=0]deze.pdf[/attachment]

Zoiets dan?

[attachment=0]cover.png[/attachment]

Even gezocht op internet: https://botpress.com/blog/are-there-any-legal-or-copyright-concerns-when-using-chatgpt-generated-content

[quote="Professor Puntje" post_id=1258669 time=1744405278 user_id=76038]

Zit er copyright op dat plaatje? Ik werk nu aan een pdf over de gevloerde getallen, en zou het plaatje graag als voorkant gebruiken...
[/quote]

Het komt van chatGPT, geen idee hoe dat verder met copyright werkt. Maar voor zover ik er iets over te zeggen heb mag je hem zo gebruiken.

Waar ik vooral in geïnteresseerd ben is of er langs deze weg al dan niet een [i]gesloten[/i] formule voor de n-de term van een Collatz-rij in gevloerde gevallen kan worden gevonden.

Nu wordt het spannend! Kunnen we met de gevloerde getallen ook bruikbare Collatz-rijen maken? Mijn gedachten gaan daarbij in deze richting:

[itex] \mathfrak{C}(g) = (\mathcal{F}(\frac{1}{2}) \cdot g) \cdot [ \mathcal{F}(1) + g \odot \underrightarrow{1} ] \,\, + \,\, ( \mathcal{F}(3) \cdot g + \mathcal{F}(1) ) \cdot ( g \odot \overrightarrow{1} ) [/itex]

[itex] \mathfrak{C}^{(1)}(g) = g [/itex]

[itex] \mathfrak{C}^{(n+1)}(g) = \mathfrak{C} \left (\mathfrak{C}^{(n)}(g) \right ) [/itex]

Waarin g standaard-getallen zijn, en [itex] \mathfrak{C}^{(n)}(g) [/itex] de n-de term in de Collatz-rij met startgetal g is. Maar of dit allemaal klopt en of je daar ook iets mee opschiet moet nog blijken.

(Zie voor de basiseigenschappen en symbolen van het systeem van de gevloerde getallen de pdf in mijn vorige berichtje.)