[quote=rvqx2 post_id=1264905 time=1752856175]
x+x**0,5=7+7**0,5
[/quote]

@boertje125,

** betekend tot de macht vaak in programmeer taal.

[itex]7+\sqrt{7} \neq 7 + \frac{1}{2}\cdot 7[/itex]

Behalve voor x=0 of x=4 geldt dit ook als je de 7 vervangt door x.

Ik zal wel iets missen.
Maar ik zou eerst de gelijken onderdelen op een hoop vegen.
dan staat er 1,5x=10,5 een simpele vergelijking met 1 onbekende

[quote=ukster post_id=1265479 time=1753533931 user_id=76233]
abc formule
abc formule.png
[/quote]


Beste Ukster
Het zal nog een hele kluif worden om zonder rekenmachine te controleren of de beide gevonden waarden voor x ook voldoen.

Dat is duidelijk.
Dank voor alle moeite.

En in het algemeen:

[itex]x+\sqrt{x} = p + \sqrt{q}[/itex]

[itex]A = \sqrt{ 2p + \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4p+1)^2-16q} }[/itex]

[itex]x = \frac{1}{2}+p+\sqrt{q} \pm \left( \frac{A}{2} + \frac{\sqrt{q}}{A} \right)[/itex]


[u]Voorbeeld:[/u]

p=4, q=13:

[itex]x_1= \frac{7}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{13}[/itex]

abc formule
[attachment=0]abc formule.png[/attachment]

RedCat. Dat heb je knap gevonden. Maar er is best wat werk en inzicht voor nodig.
Toch blijf ik erbij dat voor een normaal mens de oplossing met een rekenmachine veel eenvoudiger is. Misschien niet 100% nauwkeurig, maar toch nauwkeurig genoeg. En jouw oplossing werkt hier, omdat ik gemakkelijke getallen gekozen heb. Vervang 1 van de twee zevens in de opgave en de vraag is of jouw oplossing dan ook nog werkt.

[quote=rvqx post_id=1265436 time=1753451528 user_id=30946]
RedCat
Wat bedoel je met de a,b,c formule? Ik gebruik de wortelformule en krijg dan:
x=0.5(15+2V7)+_ 0.5V(29+4V7)
en zie niet hoe x=7.
[/quote]

abc formule = wortelformule met als resultaat:

[itex]x=\frac{1}{2}(15+2\sqrt{7}) \pm \frac{1}{2}\sqrt{29+4\sqrt{7}}[/itex]

ofwel

[itex]2x=15+2\sqrt{7} \pm \sqrt{29+4\sqrt{7}}[/itex]

Vereenvoudig de derde term rechts: kijk of [itex]29+4\sqrt{7}[/itex] een kwadraat is:
als dat het een kwadraat van een getal is, dan zal dat getal de vorm [itex]A+B\sqrt{7}[/itex] hebben (zo introduceren we de [itex]\sqrt{7}[/itex] onder het wortelteken).

Dan moet dus [itex](A+B\sqrt{7})^2 = 29+4\sqrt{7}[/itex]
ofwel
[itex]A^2+2AB\sqrt{7}+7B^2 = 29+4\sqrt{7}[/itex]
waardoor
[itex]A^2 + 7B^2 = 29[/itex]
en
[itex]2AB=4[/itex]

Uit het laatste volgt [itex]B = \frac{2}{A}[/itex]
invullen in de vergelijking daarboven:

[itex]A^2 + 7\frac{4}{A^2} = 29[/itex]

[itex](A^2)^2 - 29A^2 + 28 = 0[/itex]

[itex](A^2-1)(A^2-28)=0[/itex]

[itex]A^2 = 1 \Rightarrow A = \pm 1[/itex]
of
[itex]A^2 = 28 \Rightarrow A = \pm 2\sqrt{7}[/itex]

Dit zijn 4 mogelijkheden voor A (met bijbehorende [itex]B = \frac{2}{A}[/itex])

[itex]A=1, B=2[/itex] levert in de oorspronkelijke vergelijking (zie bovenaan in deze post):

[itex]2x=15+2\sqrt{7} \pm (1+2\sqrt{7})[/itex]

waarbij

[itex]2x=15+2\sqrt{7} - (1+2\sqrt{7})[/itex]

de oplossing [itex]x=7[/itex] levert.

[quote=rvqx post_id=1265436 time=1753451528 user_id=30946]
RedCat
Wat bedoel je met de a,b,c formule?
[/quote]
Ik denk dat 'a, b, c formule' een Nederlandse term is. In België/Vlaanderen heb ik dat nog nooit gehoord. Ze bedoelen daarmee uitrekenen via de discriminant.

[quote=ukster post_id=1265442 time=1753455908 user_id=76233]
[quote=rvqx post_id=1264934 time=1752879438 user_id=30946]
De grafische oplossing is niet toereikend. Er zou een niet reele oplossing kunnen bestaan en die zie je grafisch niet.
[/quote]

die kan met een trucje wel zichtbaar worden gemaakt
https://sciencetalk.nl/forum/viewtopic.php?p=1074951#p1074951
[/quote]

Grappig.
Je moet dus dat trucje kennen. En bij andere dan kwadratische functies zal er wel een ander trucje nodig zijn. Lijkt me meer iets voor specialisten.

[quote=rvqx post_id=1264934 time=1752879438 user_id=30946]
De grafische oplossing is niet toereikend. Er zou een niet reele oplossing kunnen bestaan en die zie je grafisch niet.
[/quote]

die kan met een trucje wel zichtbaar worden gemaakt
https://sciencetalk.nl/forum/viewtopic.php?p=1074951#p1074951

RedCat
Wat bedoel je met de a,b,c formule? Ik gebruik de wortelformule en krijg dan:
x=0.5(15+2V7)+_ 0.5V(29+4V7)
en zie niet hoe x=7.

Veel vertrouwen heb ik niet in grafische oplossingen, want daarmee kun je aantonen dat
x²=-1 geen oplossingen heeft, terwijl x=i en x=-i oplossingen zijn. Voorts zijn de grafische oplossingen verre van nauwkeurig.

De hele opzet van mijn vraagstelling is aan te tonen dat een rekenmachine de beste of handigste oplossingen geeft, terwijl dat vaak bij opgaven niet getolereerd wordt. Verander in mijn opgave eens een 7 b.v. in een 6. Je kunt dan nauwelijks anders werken dan met de machine.

[quote=rvqx post_id=1264932 time=1752879035 user_id=30946]
RedCat

(√x)2=(−x+7+√7)2

Dit is geen oplossing, maar een andere schrijfwijze van mijn probleem
[/quote]

Nee, dit is de eerste stap richting een oplossing: hier staat een 2e graads vergelijking die je met de abc-formule kan oplossen:

[itex]x = (x-(7+\sqrt{7}))^2[/itex]

[itex]x^2 - 2(7+\sqrt{7})x+(7+\sqrt{7})^2 = x[/itex]

[itex]x^2 - (15+2\sqrt{7})x+(7+\sqrt{7})^2 = 0[/itex]

abc-formule:

[itex]x = \frac{1}{2}\left( 15+2\sqrt{7} \pm (1+2\sqrt{7}) \right) [/itex]

waarbij [itex]x=7[/itex] de juiste oplossing is en [itex]x = 8+2\sqrt{7}[/itex] de onterecht geintroduceerde valse oplossing (zie [b][color=#4040FF]ukster[/color][/b] hierboven voor een benadering van deze waarde).

Het grafische bewijs van [b][color=#4040FF]ukster[/color][/b] is overigens een mooi bewijs zonder woorden.
In feite staat hier:
[itex]x=7[/itex] is een oplossing,
voor geldige [itex]x\ge 0[/itex] zijn [itex]y=x[/itex] en [itex]y=\sqrt{x}[/itex] continu stijgend,
dus [itex]y=x+\sqrt{x}[/itex] is ook continu stijgend waarmee [itex]x=7[/itex] de enige oplossing is.

Zo toon je aan dat x=7 een oplossing is, dat klopt.
Maar nu nog aantonen dat er geen andere oplossingen zijn.

Accoord, maar toon dat nu eens aan.