Het lijkt me dat je dit hebt berekend:
Voor een regelmatige n-hoek is de centrale hoek
\(\theta = \frac{2\pi}{n}\)
(1) Voor de maximale inwendige n-hoek (rood) binnen een cirkel geldt:
\(\frac{l}{2} = r\sin(\frac{\theta}{2}) = r\sin(\frac{\pi}{n})\)
ofwel
\(l = 2r\sin(\frac{\pi}{n})\)
waardoor de omtrek van de rode n-hoek
\(Omtrek_{rood} = n\cdot 2r\sin(\frac{\pi}{n})\)
(2) Voor de minimale uitwendige n-hoek (blauw) buiten een cirkel geldt evenzo:
\(\frac{L}{2} = R\sin(\frac{\theta}{2}) = R\sin(\frac{\pi}{n})\)
ofwel
\(L = 2R\sin(\frac{\pi}{n})\)
waardoor de omtrek van de blauwe n-hoek
\(Omtrek_{blauw} = n\cdot 2R\sin(\frac{\pi}{n})\)
Omdat
\(r=R\cos(\frac{\theta}{2}) = R\cos(\frac{\pi}{n})\)
is
\(Omtrek_{blauw} = n\cdot 2\frac{r}{cos(\frac{\pi}{n})}\sin(\frac{\pi}{n}) = 2nr\tan(\frac{\pi}{n})\)
(3) De omtrek van de cirkel ligt tussen de omtrekken van bovenstaande n-hoeken in:
\(2nr\sin(\frac{\pi}{n}) \le 2\pi r \le 2nr\tan(\frac{\pi}{n}) \)
ofwel
\(n\sin(\frac{\pi}{n}) \le \pi \le n\tan(\frac{\pi}{n}) \)
Voor de limiet van n naar oneindig worden deze drie aan elkaar gelijk.
(4) Afgeleiden:
Als we n uitbreiden naar reele getallen (n ≥ 3) krijgen we bovenstaande curves:
\(f(n) = n\sin(\frac{\pi}{n})\) (rood)
en
\(g(n) = n\tan(\frac{\pi}{n})\) (blauw)
Voor n=4 kruisen de raaklijnen vanuit A en B elkaar in punt P = (5.621458, 3.07447760)
Voor n=6 kruisen de raaklijnen vanuit C en D elkaar in punt Q = (8.773545, 3.12910894)
Voor n=8 kruisen de raaklijnen vanuit E en F elkaar in punt R = (11.837018, 3.13773506)
De y-waarden liggen net iets onder pi, maar zullen voor n naar oneindig ook richting pi gaan (= de lichtgroene lijn: y = pi).
