Zo dan?

[ (A ∧ ¬A) V (A ∧ B) ] (aanname invoeren)

(A ∧ ¬A) → B ( ? )

(A ∧ B) → B (7)

B (9)

(A ∧ ¬A) V (A ∧ B) → B (aanname opheffen)

((A ∧ B) V (A ∧ ¬A)) → B (1.27)

((B ∧ A) V (¬A ∧ A)) → B (1.26)

((B V ¬A) ∧ A) → B (1.39)

(A ∧ (B V ¬A)) → B (1.26)

(A ∧ (¬A V B) → B (1.27)

(A ∧ (A → B)) → B (1.31)

Weer een stukje:

((A ∧ ¬A) V (A ∧ B)) → B

((A ∧ B) V (A ∧ ¬A)) → B (1.27)

((B ∧ A) V (¬A ∧ A)) → B (1.26)

((B V ¬A) ∧ A) → B (1.39)

(A ∧ (B V ¬A)) → B (1.26)

(A ∧ (¬A V B) → B (1.27)

(A ∧ (A → B)) → B (1.31)

[quote=Philip-Voets post_id=1273813 time=1770666473]
Misschien kun je toelichten wat je bedoelt met “welk systeem”.

[/quote]

Komt er op neer te bepalen welke afleidingsregels je als axioma aanneemt en waarmee je dus vertrekt om andere zaken te bewijzen.
Deze axioma's zijn binnen dat systeem niet bewijsbaar.

Het Natural Deduction systeem wordt het meest toegepast binnen de standaard wiskunde omdat deze het meest aansluit bij ons intuitief denken.

Meer strakke en dus meer onleesbare systemen zijn Hilbert systeem en Sequent Calculus.

Erg boeiende vraag trouwens. Gaat diep in op de fundamenten van wiskunde

[¬A] (startpunt)

¬A V (¬B V B) (10)

(¬A V ¬B) V B (waar is die associatieve regel bewezen?)

¬(A ∧ B) V B (1.29)

A ∧ B → B (1.31)

Daarna volg ik het niet meer...

(A ∧ ¬A) V (A ∧ B)) → B (introductie V en falsum)

(A ∧ (¬A V B) → B (distributie)

(A ∧ (A → B)) → B (implicatie)

Dit zijn alvast de afleidingsregels:

[attachment=0]regels.png[/attachment]

[quote=PhilipVoets post_id=1273930 time=1770834451 user_id=20373]
https://www.math.ru.nl/~landsman/InleidingWiskunde2022.pdf

Deze bedoel ik.
[/quote]

Die lijkt wel geschikt! Ik ben nu tot 1.4 gekomen, en hoop daar de axioma's en afleidingsregels te vinden.

https://www.math.ru.nl/~landsman/InleidingWiskunde2022.pdf

Deze bedoel ik.

Hebben we het wel over dezelfde reader?

Haha, het is meer uit interesse. Ik overweeg een los bijvak “Inleiding Wiskunde” aan de Radboud-universiteit te volgen vanuit thuis (propositielogica, verzamelingenleer, bewijzen door inductie, etc.). Ik moet zeggen dat het doorakkeren van die reader (2022/2023) zonder illustratieve hoor- of werkcolleges een kluif is, maar de reader lijkt ook wat “convoluut” hier en daar..

Ik vind die syllabus van Landsma onnodig ingewikkeld. Of wil je zelf een specialist in moderne logica worden? Dan zou het wel nuttig zijn.

Ik heb zelf vroeger het volgende boekje bestudeerd: https://www.bol.com/nl/nl/p/moderne-logica/9200000048765394/

Dat is veel eenvoudiger!

Helder. Ik heb in ieder geval gebruik van de gegeven stellingen in de syllabus van Landsma gemaakt. Ik weet niet of dat helpt bij het duiden van het bewijs?

[quote=Philip-Voets post_id=1273813 time=1770666473]
Misschien kun je toelichten wat je bedoelt met “welk systeem”.
[/quote]

Er zijn verschillende mogelijkheden om je axioma's en toegestane afleidingsregels te kiezen. En dat leidt tot verschillende systemen van (propositie)logica.

[quote]
De haakjes bij ¬(A ∧ B) meer om aan te geven waar de equivalentie ¬A V ¬B ~ ¬(A ∧ B) volgens De Morgan wordt geïntroduceerd. Dat was de gedachte tenminste, haha
[/quote]

Als je de haakjes verplaatst gaat het wel:

¬A V (¬B V B)

(¬A V ¬B) V B

¬(A ∧ B) V B

Het hele punt is dat je niet aangeeft van welke axioma's en afleidingsregels (en eventueel eerder bewezen stellingen) je uit gaat, zodat ook niet is te zeggen welke stappen (zoals het verplaatsen van de haakjes) in je bewijs wel of niet toelaatbaar zijn.

Misschien kun je toelichten wat je bedoelt met “welk systeem”.

De haakjes bij ¬(A ∧ B) meer om aan te geven waar de equivalentie ¬A V ¬B ~ ¬(A ∧ B) volgens De Morgan wordt geïntroduceerd. Dat was de gedachte tenminste, haha

Zoals ik al schreef: ik weet niet binnen welk formeel systeem je wil/mag werken. Als je een formeel bewijs wilt leveren moet je [i]expliciet [/i]aangegeven wat binnen je gebruikte formele systeem je axioma's zijn, en welke afleidingsregels ertoe behoren. Als dat niet gegeven is heb je ook geen [i]formeel [/i]bewijs.

Maar goed, laten we het informeel bekijken.

¬B V B (is altijd waar)

¬A V (¬B V B) (dus dan is die disjunctie ook altijd waar)

Maar op basis waarvan verplaats je voor de volgende stap dan de haakjes?

En stel dat ik de gedachtengang omdraai, zou het dan geldig zijn?

¬A (startpunt)

¬A V ¬B V B (introductie tautologie en V)

¬(A ∧ B) V B (De Morgan)

A ∧ B → B (implicatie)

(A ∧ ¬A) V (A ∧ B)) → B (introductie V en falsum)

(A ∧ (¬A V B) → B (distributie)

(A ∧ (A → B)) → B (implicatie)

?