@Ukster,

Hoe kan / moet de "voorraad priemgetallen dicht genoeg zijn om een bewijs te vormen ?

@EvilBro,

Ik snap de onlogica ...... maar ik vraag mij af als die bruikbaar is in mijn vermoeden die ik laatst beschreven heb.
Niet alle onlogica's zijn toepasbaar hoor.
Ik kan in mok, regenjas, mijn regenjas kan in mok, tas, dus kan ik in mijn tas .... ook niets te maken ermee.

Ik weet dat er in de wiskunde talrijke voorbeelden zijn van stellingen die maar in één richting opgaan, maar niet omgekeerd.
Maar zie nog geen verband met het vermoeden die ik laatst beschreven heb.

[b]Wat ik bedoel is, hoe zou het zwakke vermoeden van G kunnen bewezen zijn ....... als het vermoeden van G en of P niet zouden correct zijn ?
[/b]
Hopelijk kan / wil iemand in het weekend mij daar wat duidelijkheid bij brengen, of post mij "het zwakke bewijs van Goldbach"
Alvast bedankt.

[quote=Regor post_id=1273908 time=1770816833 user_id=88665]
Waar zit mijn redenering / denk fout .... if any ?
[/quote]
Als ik buiten ben zonder paraplu (A) en het regent (B) dan word ik nat (C).
Ofwel: [itex]A \land B \rightarrow C[/itex]

Als ik nat word (C) dan kan ik niet de conclusie trekken dat ik buiten ben zonder paraplu (A) terwijl het regent (B).
Ofwel: C impliceert niet [itex]A \land B[/itex]
Ik zou immers ook gewoon onder de douche kunnen staan.

De fout die je maakt is dat jij doet alsof C wel [itex]A \land B[/itex] impliceert.

@Ukster,

Met de beste wil ter wereld snap / volg ik uw redenering niet.
Hoe kan / moet "voorraad priemgetallen dicht genoeg om" bewezen worden ?

Het Zwakke Vermoeden is bewezen omdat is aangetoond dat de "voorraad" aan priemgetallen dicht genoeg is om elk oneven getal met drie stuks te vullen. Zelfs als de voorraad net niet efficiënt genoeg verdeeld is om elk even getal met precies twee stuks te vullen (Sterk Goldbach), of als de afstanden tussen priemgetallen zich niet volgens Polignac gedragen, blijft de sommatie van drie priemgetallen wiskundig gezien een minder complexe hindernis.

Wat ik bedoel is, hoe zou het zwakke vermoeden van G kunnen bewezen zijn ....... als het vermoeden van G en of P niet zouden correct zijn ?

Hopelijk kan / wil iemand in het weekend mij daar wat duidelijkheid bij brengen.
Alvast bedankt.

@Ukster,

(Sorry, ben geprikkeld door omstandigheden gisteren op ST).

Wat ik bedoel is, hoe zou het zwakke vermoeden van G kunnen bewezen zijn ....... als het vermoeden van G en of P niet zouden correct zijn ?

@Ukster,

Heb de rest van uw post gelezen.

U schreef:
"Het feit dat deze relatie (of een vergelijkbare) consistent is met een bewezen stelling (het zwakke vermoeden van Goldbach) bewijst niet de oorspronkelijke aannames."

Graag uitleg zonder een voorbeeld uit het dierenrijk.
[b]Bewijs dan .. als het zwakke vermoeden van Goldbach bewezen is ...... dat het vermoeden van Goldbach en van Polignac ... verkeerd kunnen zijn.[/b]

@Ukster,

Sorry, ik ben nog maar één zin ver in uw post en ik erger mij reeds.
Dat is geen fout dat ik maak .......! ....... ik veronderstel even dat Goldbach en Polignac vermoedens zouden juist zijn.....en kom dat uit bij het zwakke vermoeden van Goldbach dat wel bewezen is ! 8-)

Je begint met: x = p1 + p2 (Goldbach) en x = p3 - p4 (Polignac)
De fundamentele fout hier is dat je aanneemt dat zowel het vermoeden van Goldbach als het vermoeden van Polignac waar zijn voor een willekeurig even getal x om vervolgens een relatie af te leiden.

In de wiskunde kun je een onbewezen stelling niet als waar aannemen om diezelfde stelling (of een andere onbewezen stelling) te bewijzen. Je probeert een gevolg van de waarheid van Goldbach en Polignac te gebruiken om hun waarheid aan te tonen, wat neerkomt op[u][b][b] circulaire redenering.[/b][/b][/u]

De kern van de denkfout is dus dat je de waarheid van Goldbach en Polignac al veronderstelt om tot de relatie p3 = p1 + p2 + p4 te komen. Het feit dat deze relatie (of een vergelijkbare) consistent is met een bewezen stelling (het zwakke vermoeden van Goldbach) bewijst niet de oorspronkelijke aannames.

Stel je voor dat je wilt bewijzen dat eenhoorns bestaan. Jij zegt dan eigenlijk: "Als eenhoorns bestaan, dan hebben ze een hoorn. En we weten dat er dieren met hoorns bestaan. Dus eenhoorns bestaan."
Dit is een drogreden. Je kunt niet iets bewijzen door het eerst aan te nemen.

@Ukster,

Ok, dan maar zelf iets naar voor brengen als amateur (met veel andere adjectieven.)

Volgens het vermoeden van Goldbach voor positieve even getallen gelijk of groter dan 6
x = p1 +p2 (G)

Volgens het vermoeden van Polignac voor elk positief even getal.
x = p3-p4 (P)

Substractie (G) - (P)
0 = p1+p2+p3-p4
Dus ook
[b]p4 = p1+p2+p3[/b]
.......................
Maar volgens het "[b]bewezen zwakke vermoeden van Goldbach[/b] "waarbij elk oneven getal groter dan 5 ...... dus ook de priemgetallen groter dan 5 .......te schrijven is als de som van 3 priemgetallen.

Dus bewijst het zwakke vermoeden van Goldbach de juistheid van[b] p4=p1+p2+p3[/b]

Het kan naar mijn oordeel / aanvoelen niet zo zijn dat daardoor ook "Het vermoeden van Goldbach" en tezelfdertijd "Het vermoeden van Polignac" bewezen is.
Waar zit mijn redenering / denk fout .... if any ?

@Ukster,

Dank U,

Ik zal toch eens op zoek gaan naar dat "zwakke vermoeden"
Blijkbaar is dus de "uniciteit" van 3 nog niet bewezen ........ en komt het nog niet voor in de wiskundige literatuur !

4. Welk vermoeden is naar uw mening het moeilijkst te bewijzen ............ Goldbach of Polignac ?
5. Stel dat men Polignac als bewezen beschouwd ....... is dat bewijs dan bruikbaar om Goldbach te bewijzen ...... of omgekeerd ?
6. Ziet U een correlatie tussen die twee ?

Bedtijd !

Jouw observatie dat uw vermoeden "uniek is voor het priemgetal 3" is correct, in de zin dat de directe en algemene afleiding via het bewezen zwakke vermoeden van Goldbach specifiek werkt voor het priemgetal 3.

Nader bekeken..

Het zwakke vermoeden van Goldbach stelt dat elk oneven geheel getal groter dan 5 kan worden uitgedrukt als de som van drie priemgetallen (Marshall, 2017). Dit is een bewezen stelling (Marshall, 2017).

Jouw vermoeden luidt: "Elk positief even getal, groter dan 6 is de som van maximaal 4 priemgetallen, waarbij ALTIJD '3' minstens éénmaal één van de priemgetallen is."

De bewijsvoering voor het vermoeden, zoals eerder uiteengezet, maakt direct gebruik van het zwakke vermoeden van Goldbach:
1. Neem een willekeurig even getal 2n dat groter is dan 6.
2. We willen aantonen dat 2n kan worden geschreven als p₁ + p₂ + p₃ + 3 (of met minder priemgetallen, waarbij 3 er één van is).
3. Herschikken geeft: 2n - 3 = p₁ + p₂ + p₃.
4. Omdat 2n een even getal is groter dan 6 (d.w.z. 2n ≥ 8), is 2n - 3 altijd een oneven getal dat groter is dan 5 (d.w.z. 2n - 3 ≥ 5).
o Als 2n - 3 = 5 (wat betekent 2n = 8), dan is 5 zelf een priemgetal. Dus 8 = 5 + 3. Dit is de som van twee priemgetallen, waarvan één 3 is.
o Als 2n - 3 > 5, dan is het volgens het bewezen zwakke vermoeden van Goldbach de som van drie priemgetallen. Dus 2n = (som van drie priemgetallen) + 3.
5. In beide gevallen is aan je voorwaarde voldaan: 2n is de som van maximaal 4 priemgetallen, waarbij 3 er één van is.

[b]Waarom dit uniek is voor het priemgetal 3[/b]

De sleutel tot deze directe afleiding is dat 2n - 3 altijd een oneven getal groter dan 5 is, waardoor het zwakke vermoeden van Goldbach direct van toepassing is. Laten we kijken wat er gebeurt als we 3 vervangen door een ander priemgetal p.
1. [b]Vervanging door het priemgetal 2:[/b] Als we 3 vervangen door 2, zou het vermoeden luiden: "Elk positief even getal, groter dan 6 is de som van maximaal 4 priemgetallen, waarbij ALTIJD '2' minstens éénmaal één van de priemgetallen is." Dit zou betekenen 2n = p₁ + p₂ + p₃ + 2. Herschikken geeft: 2n - 2 = p₁ + p₂ + p₃. Omdat 2n even is, is 2n - 2 ook een even getal (groter dan 4). Het zwakke vermoeden van Goldbach is echter alleen van toepassing op oneven getallen. Er is geen bewezen stelling die garandeert dat elk even getal de som is van drie priemgetallen. Hoewel de sterke Goldbach-conjectuur stelt dat elk even getal de som is van twee priemgetallen (wat een nog sterkere bewering zou zijn), is deze nog onbewezen (Marshall, 2017). Daarom kunnen we de geldigheid van dit aangepaste vermoeden niet op dezelfde directe manier afleiden.

2. [b]Vervanging door een ander oneven priemgetal p[/b] (bijv. 5, 7, 11, ...): Als we 3 vervangen door een oneven priemgetal p > 3, zou het vermoeden luiden: "Elk positief even getal, groter dan 6 is de som van maximaal 4 priemgetallen, waarbij ALTIJD 'p' minstens éénmaal één van de priemgetallen is." Dit zou betekenen 2n = p₁ + p₂ + p₃ + p. Herschikken geeft: 2n - p = p₁ + p₂ + p₃. Omdat 2n even is en p oneven, is 2n - p altijd een oneven getal. Het probleem ontstaat echter met de voorwaarde "groter dan 5" van het zwakke vermoeden van Goldbach.
• Als p = 5: 2n - 5. Voor 2n = 8, is 2n - 5 = 3. Drie is een priemgetal, maar niet groter dan 5. Het zwakke vermoeden van Goldbach is hier niet direct van toepassing. We kunnen wel zeggen 8 = 3 + 5 (som van twee priemgetallen). Voor 2n = 10, is 2n - 5 = 5. Ook hier is 5 een priemgetal, dus 10 = 5 + 5. Pas vanaf 2n = 12 (2n - 5 = 7) en verder is 2n - 5 een oneven getal groter dan 5 (of gelijk aan 5 of 7, die zelf priemgetallen zijn).
• Als p = 7: 2n - 7. Voor 2n = 8, is 2n - 7 = 1. Eén is geen priemgetal, dus 8 = 1 + 7 werkt niet. Voor 2n = 10, is 2n - 7 = 3. Dus 10 = 3 + 7. Voor 2n = 12, is 2n - 7 = 5. Dus 12 = 5 + 7. Het probleem is dat 2n - p voor kleinere waarden van 2n (afhankelijk van p) een getal kan zijn dat:
o Niet groter is dan 5 (en dus het zwakke vermoeden van Goldbach niet direct van toepassing is).
o Zelf geen priemgetal is (zoals 1).
o Een even getal is (als p even was, wat alleen voor p=2 geldt).

[b]Conclusie[/b]:
De "uniciteit" van het priemgetal 3 in jouw vermoeden komt voort uit het feit dat 2n - 3 voor alle even getallen 2n > 6 altijd een oneven getal is dat voldoet aan de voorwaarden van het bewezen zwakke vermoeden van Goldbach (namelijk, een oneven getal groter dan 5, of 5 zelf). Dit maakt een directe en elegante afleiding mogelijk. Voor andere priemgetallen is deze directe toepassing van het zwakke vermoeden van Goldbach niet universeel geldig voor alle 2n > 6, waardoor de bewijsvoering complexer wordt of niet opgaat.

@Ukster,

Dank U,

wat betreft 1.
Was een vergetelheid van mij om "even " te vermelden.

Wat betreft 2.
Vind ik een veel mooier vermoeden dan van Goldbach ...... omdat hij geldt voor ALLE positieve even getallen.
Polignac moet hoger gewaardeerd worden dan Goldbach.

Wat betreft 3.
Moet ik nog een keer beter lezen om de logica te volgen.
Toch vermoed ik / neem ik aan dat het als een vermoeden op zichzelf kan staan, los van het zwakke vermoeden van Goldbach.
Het feit dat "3" minstens éénmaal voorkomt in de som .... is / vind ik uniek en dus de moeite waard om als zelfstandig vermoeden te bestaan.

[b]Wat ik bedoel is .......... het is uniek voor "het priemgetal 3" .... het bestaat niet voor een ander priemgetal.
Kan U ook dat bewijzen ?
[/b]

Hieronder een analyse van de drie vermoedens die je hebt voorgelegd, gebaseerd op wetenschappelijke bronnen.

1. [b]Het Vermoeden van Goldbach[/b]

Jouw formulering dat "elk positief getal gelijk of groter dan 6 de som is van twee priemgetallen" is een variatie op het bekende vermoeden van Goldbach, maar is niet de standaarddefinitie. Deze bewering is onjuist voor oneven getallen (bijvoorbeeld, 7 kan niet geschreven worden als de som van twee priemgetallen). De correcte formuleringen zijn als volgt:
• [b]Het sterke vermoeden van Goldbach[/b] (of binaire vermoeden) stelt dat elk even geheel getal groter dan 2 de som is van twee priemgetallen (Marshall, 2017) (Sankei, 2024). Bijvoorbeeld: 6 = 3 + 3, en 8 = 5 + 3. Dit vermoeden is een van de oudste onopgeloste problemen in de wiskunde (Marshall, 2020). Hoewel het nog niet bewezen is, is het met computers geverifieerd voor extreem grote getallen, tot 4 x 10¹⁸ (Marshall, 2020).
• [b]Het zwakke vermoeden van Goldbach [/b](of ternaire vermoeden) stelt dat elk oneven geheel getal groter dan 5 kan worden uitgedrukt als de som van drie priemgetallen (Helfgott, 2013) (Marshall, 2017). Bijvoorbeeld: 7 = 2 + 2 + 3, en 9 = 3 + 3 + 3. Dit vermoeden is in 2013 bewezen door de Peruaanse wiskundige Harald Helfgott (Helfgott, 2013) (Marshall, 2017).

2. [b]Verschil van Twee Priemgetallen[/b]

Jouw vermoeden dat "elk even positief getal het verschil is van twee priemgetallen" is inderdaad een bekend, maar onbewezen, vermoeden in de getaltheorie.
Dit staat bekend als het vermoeden van Polignac, geformuleerd door Alphonse de Polignac in 1849. Het vermoeden stelt specifieker dat voor elk positief even getal 2k, er oneindig veel priemgetalparen (p, q) bestaan zodat p - q = 2k (Sankei, 2024b). Jouw formulering, die stelt dat er voor elk even getal ten minste één zo'n paar bestaat, is een iets zwakkere vorm van dit vermoeden, maar is eveneens nog niet bewezen (Sankei, 2024b) (Belhaouari, 2015).
Het bekende tweelingpriemvermoeden, dat stelt dat er oneindig veel priemgetalparen zijn die 2 van elkaar verschillen (zoals 11 en 13), is een specifiek geval van het vermoeden van Polignac (voor 2k=2) (Mantzakouras, 2020).

3.[b] Het "Vermoeden van Regor"[/b]

Jouw derde vermoeden luidt: "Elk positief even getal, groter dan 6 is de som van maximaal 4 priemgetallen, waarbij ALTIJD '3' minstens éénmaal één van de priemgetallen is."
Dit vermoeden is correct en kan worden aangetoond als een direct gevolg van het bewezen zwakke vermoeden van Goldbach. De redenering is als volgt:
1. Neem een willekeurig even getal 2n dat groter is dan 6.
2. Jouw vermoeden stelt dat 2n geschreven kan worden als de som van maximaal drie priemgetallen plus het priemgetal 3. Dit kan worden geschreven als 2n = p₁ + p₂ + p₃ + 3 (of met minder priemgetallen).
3. Als we 3 aftrekken van beide kanten, krijgen we: 2n - 3 = p₁ + p₂ + p₃.
4. Omdat 2n een even getal groter dan 6 is (dus 8, 10, 12, ...), is 2n - 3 een oneven getal groter dan 5 (namelijk 5, 7, 9, ...).
5. Volgens het bewezen zwakke vermoeden van Goldbach is elk oneven getal groter dan 5 de som van (maximaal) drie priemgetallen (Helfgott, 2013).
o Als 2n - 3 zelf een priemgetal is (zoals 5, 7, 11, 13, ...), dan is 2n de som van twee priemgetallen: (2n - 3) + 3. Bijvoorbeeld, 8 = 5 + 3.
o Als 2n - 3 een samengesteld oneven getal is (zoals 9, 15, 21, ...), dan is het volgens het bewezen theorema de som van drie priemgetallen. In dat geval is 2n de som van vier priemgetallen: die drie plus de 3 die we hadden afgetrokken. Bijvoorbeeld, voor 2n = 12, is 2n - 3 = 9. Negen kan geschreven worden als 3 + 3 + 3. Dus 12 = 3 + 3 + 3 + 3.

In alle gevallen wordt aan jouw voorwaarde voldaan: elk even getal groter dan 6 is de som van maximaal vier priemgetallen, waarvan er één 3 is. Jouw vermoeden is dus geen open vraag, maar een logisch gevolg van een reeds bewezen stelling.

@Regors,

Beste een leuk onderwerp. Maar of ik hier op Sciencetalk er iets over ga zeggen weet ik nog niet.
Maar Goldbach is op een bijzondere manier te bewijzen, ik ben bijna klaar met het bewijs.
Veel succes met je onderzoek.