Interessant om eens te bekijken in de context van energie in de ART is ook de derde stelling van Noether.
----------------
In een theorie met lokale symmetrieën, zoals de diffeomorfisme-invariantie van GR, blijken de bijhorende Noether-stromen geen onafhankelijke, fysisch meetbare lokale grootheden te zijn. De reden is dat deze symmetrieën geen echte fysische veranderingen beschrijven, maar eerder redundantie in de beschrijving: verschillende coördinatenkeuzes beschrijven dezelfde fysische situatie. Daardoor worden de bijhorende Noether-stromen “triviaal” in de bulk van de ruimtetijd.

Concreet betekent dit dat de Noether-stroom die hoort bij een willekeurige infinitesimale diffeomorfisme kan worden herschreven als de divergentie van een antisymmetrische tensor (een zogenaamde superpotentiaal). Met andere woorden: de stroom kan altijd geschreven worden als een totale afgeleide. Wanneer je zo’n stroom integreert over een volume, kun je via de divergentiestelling die integraal volledig herleiden tot een integraal over de rand van dat volume.

Het cruciale gevolg is dat de bijhorende geconserveerde grootheden in de algemene relativiteitstheorie niet in het binnenste van de ruimte liggen, maar volledig bepaald worden door wat er op de rand gebeurt. Dit staat in scherp contrast met bijvoorbeeld elektromagnetisme, waar ladingsdichtheid lokaal gedefinieerd is. In GR bestaat er geen goed gedefinieerde lokale energiedichtheid van het zwaartekrachtsveld; in plaats daarvan worden fysische grootheden zoals energie en impuls gedefinieerd via grensintegralen.

Dit zie je expliciet terug in concrete constructies. De totale energie van een geïsoleerd systeem in een asymptotisch vlakke ruimtetijd wordt gegeven door de ADM-energie, die berekend wordt als een integraal over een sfeer op ruimtelijke oneindigheid. Op een gelijkaardige manier wordt de energie die uitgestraald wordt door zwaartekrachtsgolven beschreven via de Bondi-energie aan null-oneindigheid. Zelfs bij zwarte gaten verschijnt een vergelijkbaar mechanisme: grootheden zoals entropie kunnen worden opgevat als bijdragen van de horizon, die functioneert als een soort rand.

De diepere boodschap van deze derde stap is dus dat, door de aanwezigheid van lokale ijksymmetrieën (diffeomorfismen), de Noether-structuur verschuift van lokale stromen in de bulk naar globale ladingen die op de rand van de ruimtetijd leven. Wat in andere theorieën een lokale behoudswet is, wordt in de algemene relativiteitstheorie een uitspraak over globale, geometrisch gedefinieerde grootheden.

Ja, alles vloeit mooi in mekaar over. De vergelijking \( \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0 \) volgt enerzijds uit de tweede stelling van Noether, toegepast op de diffeomorfisme-invariantie van de theorie, en anderzijds uit de Bianchi-identiteit als een geometrische consistentievoorwaarde van de Einsteinvergelijkingen. Tegelijk drukt ze het lokale behoud van energie en impuls uit. In het algemeen geldt deze behoudswet echter niet in globale zin in een willekeurige gekromde ruimtetijd.

wnvl1 schreef: ↑vr 10 apr 2026, 00:53 Zonder zo’n Killingvector bestaat er dus geen globale, exact behouden energiegrootheid meer die rechtstreeks uit een symmetrie van de metriek volgt.

Wat wel altijd geldig blijft, is de lokale covariante behoudswet van energie-impuls:
\[
\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0.
\]
Deze vergelijking drukt uit dat energie en impuls lokaal behouden zijn, maar ze garandeert geen globale energiebalans wanneer de geometrie zelf dynamisch is.

\[
\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0.
\]

Deze vergelijking is ook afgeleid van Noethers tweede stelling.
Echter we kunnen deze ook zonder lokale symmetrie afleiden via de Bianchi identiteit.
De Bianchi-identiteit hangt enkel af van de Riemantensor, dus enkel van de kromming of vorm van de ruimte.

\[\nabla_\mu G^{\mu\nu} = 0 \ met \ G^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - \tfrac12 g^{\mu\nu} R\]

In ART postuleer je vervolgens \[G^{\mu\nu}=8πGT^{\mu\nu}\] Dit is niet afgeleid uit Bianchi maar het is een modelkeuze: kromming wordt veroorzaakt door energie‑impuls
Aangezien \[\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0 \ volgt \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\]​

In beide gevallen is
\[
\nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0.
\]geen behoudswet maar hetzij een beperking van de oplossingsruimte, hetzij een geometrische eis van de ruimte.

AI vat het als volgt samen.
----------------------------------

Waar Noether’s eerste stelling betrekking heeft op globale symmetrieën en rechtstreeks leidt tot behoudswetten zoals \( \partial_\mu j^\mu = 0 \), gaat Noether’s tweede stelling over lokale symmetrieën waarbij de transformatieparameter afhangt van de ruimte-tijd, bijvoorbeeld \( \theta(x) \). In dat geval krijg je niet zomaar een nieuwe behoudswet, maar eerder identiteiten tussen de veldvergelijkingen zelf, wat erop wijst dat er redundantie in de beschrijving zit.

Meer concreet, voor een continue lokale transformatie die afhangt van willekeurige functies \( p_\alpha(x) \), kan de variatie van de velden geschreven worden als
\[
\delta \psi_i = \sum_\alpha \left( a_i^\alpha \Delta p_\alpha(x) + b_i^{\mu\alpha} \partial_\mu(\Delta p_\alpha(x)) \right).
\]

Noether’s tweede stelling zegt dan dat de Euler–Lagrange uitdrukkingen \( [\Psi]_i \) niet onafhankelijk zijn, maar voldoen aan de identiteit
\[
\sum_i [\Psi]_i a_i^\alpha \equiv \partial_\mu \left( \sum_i [\Psi]_i b_i^{\mu\alpha} \right).
\]

Belangrijk is dat dit een identieke relatie is die geldt zonder dat je de veldvergelijkingen moet opleggen.

Als concreet voorbeeld kan je een \( U(1) \) gauge theorie nemen met Lagrangiaan
\[
L = D_\mu \psi D^\mu \psi^* - m^2 \psi \psi^* - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},
\]
waarbij
\[
D_\mu = \partial_\mu + iq A_\mu.
\]

Deze Lagrangiaan is invariant onder lokale transformaties
\[
\psi \to e^{iq\theta(x)} \psi, \quad A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \theta(x).
\]

Infinitesimaal:
\[
\delta \psi = iq\,\theta\,\psi, \quad \delta A_\mu = \partial_\mu \theta.
\]

Toegepast op dit systeem geeft Noether’s tweede stelling eerst een structureel resultaat:
\[
\partial_\mu \partial_\nu F^{\mu\nu} \equiv 0,
\]
wat impliceert dat
\[
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu.
\]

Met andere woorden, de antisymmetrie van \( F_{\mu\nu} \) wordt afgedwongen door lokale gauge-invariantie.

Daarnaast kan je, als je ook de veldvergelijkingen voor het gaugeveld gebruikt,
\[
\frac{\partial L}{\partial A_\mu} - \partial_\nu \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_\nu A_\mu)} \right) = 0,
\]
uit Noether’s tweede stelling afleiden dat
\[
\partial_\mu j^\mu = 0,
\]
waarbij
\[
j^\mu = iq(\psi^* D^\mu \psi - \psi D^\mu \psi^*).
\]

Het verschil met Noether’s eerste stelling is dus dat bij globale symmetrie de behoudswet rechtstreeks volgt uit de materieveldvergelijkingen en daar ook equivalent mee is, terwijl bij lokale symmetrie de behoudswet eerder een gevolg is van de structuur van de theorie samen met de veldvergelijkingen van het gaugeveld. Dit weerspiegelt dat lokale symmetrieën geen nieuwe fysische vrijheidsgraden introduceren, maar een redundante beschrijving impliceren. Zo heeft het veld \( A_\mu \) vier componenten, terwijl er fysisch slechts twee vrijheidsgraden zijn.

Samengevat zegt Noether’s tweede stelling dat lokale gauge symmetrie leidt tot identiteiten tussen de veldvergelijkingen, en dat behoudswetten in zulke theorieën vaak voortkomen uit die onderliggende structuur in combinatie met de dynamica, eerder dan louter uit symmetrie alleen.
```

Inderdaad en dan vooral het tweede theorema van Noether

Ik vermoed dat je naar dit verwijst.

https://arxiv.org/abs/hep-th/0009058

Wat ik lees is dat er toch nog een andere mogelijkheid bestaat. Ik heb het nog niet helemaal door dus misschien kunnen anderen het aanvullen en verbeteren. In plaats van behoud af te leiden via globale symmetrieën, tijds en ruimte translaties, en Noether's stelling over deze transformaties kunnen we ook eens kijken naar lokale symmetrieën (gauge invariance). Ook hier heeft Noether een stelling voor.
Het komt er op neer dat deze gauge symmetrieën beperkingen oplegt aan de oplossingsruimte van een theorie. Bij ART zou dit kunnen zijn dat de Hamoltoniaan H gelijk moet zijn aan nul. Behoud van energie is dan geen dynamische gevolg, maar een beperking van de mogelijke universa.

Voor wie dit niet kan volgen, geen paniek ik vat het ook nog niet helemaal. Het vergt wel wat extra achtergrond kennis.

Als je het dus toch wil proberen, dan moet je het in deze richting zoeken.

----------------------------------

In de algemene relativiteitstheorie van Einstein is het niet mogelijk om een echte, co\"ordinaten-onafhankelijke energietensor voor het zwaartekrachtsveld te defini\"eren. Om toch een vorm van energiebehoud te formuleren, introduceert men zogenaamde pseudo-tensoren. Het basisidee is dat men de energietensor van materie en straling, \( T^{\mu\nu} \), aanvult met een zwaartekrachtsbijdrage \( t^{\mu\nu} \), zodat men formeel kan schrijven:

\[
\partial_\mu \left( T^{\mu\nu} + t^{\mu\nu} \right) = 0.
\]

Deze vergelijking lijkt op een gewone behoudswet, maar het is belangrijk te benadrukken dat hier een parti\"ele afgeleide wordt gebruikt in plaats van een covariante afgeleide. Daardoor is deze formulering afhankelijk van de gekozen co\"ordinaten.

Een veelgebruikte constructie is de pseudo-tensor van Landau en Lifshitz. In die aanpak worden de Einsteinvergelijkingen herschreven in de vorm:

\[
\partial_\alpha \partial_\beta H^{\mu\alpha\nu\beta} = 16\pi G\, (-g)\,\bigl(T^{\mu\nu} + t^{\mu\nu}_{LL}\bigr),
\]

waarbij \( g \) de determinant van de metriek is. Hieruit volgt een behoudswet van de vorm:

\[
\partial_\mu \left[ (-g)\,\bigl(T^{\mu\nu} + t^{\mu\nu}_{LL}\bigr) \right] = 0.
\]

Deze uitdrukking suggereert dat de combinatie van materie-energie en zwaartekrachtsenergie behouden is.

Wanneer men dit toepast op een homogeen en isotroop uitdijend heelal, beschreven door de FLRW-metriek

\[
ds^2 = -dt^2 + a(t)^2\, d\vec{x}^2,
\]

met \( a(t) \) de schaalfactor, dan vindt men het volgende. Voor een perfect flu\"idum geldt dat de energiedichtheid gegeven wordt door \( T^{00} = \rho \), wat een positieve bijdrage levert. De berekening van de Landau--Lifshitz pseudo-tensor voor deze metriek levert daarentegen een negatieve bijdrage van het zwaartekrachtsveld.

In het geval van een vlak heelal (k = 0) kan men dan formeel de totale energie schrijven als

\[
E_{\text{tot}} = \int d^3x\, (-g)\,\bigl(T^{00} + t^{00}_{LL}\bigr),
\]

en deze integraal blijkt nul te zijn:

\[
E_{\text{tot}} = 0.
\]

Dit resultaat ligt aan de basis van uitspraken dat het universum een totale energie van nul kan hebben. De positieve energie van materie, straling en vacu\"umenergie wordt in dat beeld exact gecompenseerd door de negatieve zwaartekrachtsenergie.

Tijdens de expansie van het heelal verandert deze energiebalans op een consistente manier binnen deze beschrijving. Fotonen verliezen bijvoorbeeld energie door kosmologische roodverschuiving, wat betekent dat de bijdrage van \( T^{00} \) afneemt. Tegelijkertijd wordt de zwaartekrachtsenergie minder negatief, zodat men formeel kan schrijven:

\[
\Delta E_{\text{materie}} + \Delta E_{\text{zwaartekracht}} = 0.
\]

Op die manier blijft de totale energie in deze boekhouding behouden.

Het is echter cruciaal om te benadrukken dat deze hele constructie afhankelijk is van de gekozen co\"ordinaten. De grootheid \( t^{\mu\nu} \) is geen tensor en heeft dus geen invariant fysisch betekenis. In een ander co\"ordinatenstelsel kan de totale energie een andere waarde aannemen.

Dit sluit aan bij het diepere inzicht dat energiebehoud gekoppeld is aan tijdtranslatiesymmetrie. Aangezien een uitdijend heelal geen globale tijdsymmetrie bezit, bestaat er in het algemeen geen unieke, globale definitie van energie.

Samengevat kan men met pseudo-tensoren een formele energieboekhouding opstellen waarin energiebehoud geldt, en waarin energieverlies van materie wordt gecompenseerd door veranderingen in zwaartekrachtsenergie. Deze interpretatie is echter niet uniek en moet gezien worden als een co\"ordinatenafhankelijke beschrijving, niet als een absoluut fysisch feit.

HansH schreef: ↑za 18 apr 2026, 16:45

vijv schreef: ↑za 18 apr 2026, 14:09
Waar gaat de energie van roodverschuiving door de uitzetting naar toe?

Dat was ook mijn punt. Misschien is de uitleg daarvan ook een kans om te begrijpen wat er dan behouden blijft in dat geval.

Niks. Er is geen tijdachtige Killing-vector die invariantie onder tijdverschuivingen aangeeft, want de ruimte zet uit.

Als ik het goed begrijp zijn die modellen niet al te rigoureus uitgewerkt en gebaseerd op fysische intuïtie. Krauss werkt met coördinaat afhankelijke energieën.

-----------------------------
Lawrence Krauss gebruikt pseudotensoren niet als een strikt fundamentele definitie van energie, maar als een praktisch hulpmiddel om een fysisch beeld te ondersteunen. In de Algemene relativiteitstheorie bestaat er immers geen goed gedefinieerde lokale energiedichtheid voor zwaartekracht, waardoor men geen gewone tensor kan gebruiken zoals bij materie en straling.

Daarom maakt Krauss gebruik van constructies zoals de Landau–Lifshitz-pseudotensor, die toelaat om de bijdrage van materie en zwaartekracht samen te beschrijven in één effectieve energiedichtheid. Met zo’n pseudotensor kan hij de totale energie over de ruimte berekenen, op voorwaarde dat hij een specifieke keuze van coördinaten maakt.

Die coördinatenkeuze is essentieel, want pseudotensoren zijn niet invariant. Krauss kiest een beschrijving die past bij een homogeen en isotroop universum met vlakke ruimtelijke kromming, omdat de berekeningen daar het eenvoudigst en symmetrisch zijn. In dat kader blijkt dat de positieve energie van materie en straling kan worden gecompenseerd door een negatieve bijdrage die men toeschrijft aan de zwaartekracht.

Hij is zich er daarbij van bewust dat deze uitkomst niet uniek is en afhangt van de gekozen coördinaten en het model. De conclusie dat de totale energie nul is, moet dus niet worden opgevat als een absoluut, coördinaatonafhankelijk feit, maar als een consistente interpretatie binnen een specifiek kosmologisch kader.

Het doel van Krauss is dan ook niet om een rigoureus wiskundig bewijs te leveren, maar om aannemelijk te maken dat het fysisch mogelijk is dat het universum geen netto energie vereist. Op die manier ondersteunt hij het idee dat het ontstaan van het universum niet noodzakelijk in strijd is met behoudswetten, zolang men de gravitatie-energie als een negatieve bijdrage meeneemt in de balans.

vijv schreef: ↑za 18 apr 2026, 14:09
Waar gaat de energie van roodverschuiving door de uitzetting naar toe?

Dat was ook mijn punt. Misschien is de uitleg daarvan ook een kans om te begrijpen wat er dan behouden blijft in dat geval.

zero-energy universe hypothesis" van Alan Guth en ondersteund door Stephen Hawking en Lawrence ...

vijv schreef: ↑za 18 apr 2026, 14:09 Wat bedoelen ze met energie in de zero energy theorie. Ik neem aan dat die heren ook wel weten dat er geen globaal energiebehoud is volgens Noether

Over welke zero energy theorie gaat het? Kan je namen geven van wetenschappers die daarmee geassocieerd zijn? Of een link naar de theorie?
Je hebt concepten als de Einstein pseudo-tensor en de Landau–Lifshitz pseudo-tensor die pogen om energie te berekenen in de ART. Die dingen zijn wel niet covariant (niet coördinaatonafhankelijk). Is het misschien daarmee geassocieerd?

wnvl1 schreef: ↑ma 13 apr 2026, 18:36 Het idee van energiebehoud hangt samen met symmetrieën via het Noether-theorema. In een ruimtetijd die verandert in de tijd, zoals een uitdijend heelal, ontbreekt de vereiste tijdtranslatie-symmetrie.

Dit is voor mij ook nog altijd de beste definitie.

wnvl1 schreef: ↑ma 13 apr 2026, 18:36 Daardoor is er voor mij geen reden om een globale, behouden energie te verwachten. Voor mij is het dus heel logisch dat er geen globale energie is. Is er een dwingende reden om op zoek te gaan naar een globale definitie van energie? Helpt ons dat verder om het universum beter te begrijpen? Ik ben geneigd te denken van niet.

Het roept bij mij toch wel enkele vragen op :
Waar gaat de energie van roodverschuiving door de uitzetting naar toe?
Wat bedoelen ze met energie in de zero energy theorie. Ik neem aan dat die heren ook wel weten dat er geen globaal energiebehoud is volgens Noether

Mulier schreef: ↑do 16 apr 2026, 19:04 Hier gaat het over een altijd vage definitie wanneer je alle vormen en types ontologisch en overkoepelend probeert te definiëren. Het is volgens mij een eigenschap als massa of hoekimpuls waar verder niets mysterieus of ontologisch interessants aan is.

Daar kan ik mij wel in vinden. De overkoepelende definitie zal daarom vaag blijven. De meest fundamentele definitie is gelinkt aan Noether: energie is de grootheid die behouden blijft omdat de natuurwetten invariant zijn onder tijdstranslaties. Met andere woorden, omdat de fysica vandaag hetzelfde is als morgen, bestaat er een geconserveerde grootheid, en die noemen we energie.

AI verwoordt die vaagheid mooi:

De reden dat energie vaak als een vaag begrip wordt ervaren, is dat het in de fysica meerdere rollen tegelijk vervult. Het fungeert als een boekhoudgrootheid die behouden blijft, als generator van tijdsevolutie in bijvoorbeeld de Hamiltoniaanse formulering, als bron van zwaartekracht in de relativiteitstheorie, en als meetbare hoeveelheid in processen zoals arbeid en warmte. Juist die brede toepasbaarheid maakt het concept krachtig, maar ook minder eenduidig.