door wnvl1 » za 27 jun 2026, 12:47
Om de snelheid en de versnelling van het punt \(P\) op een willekeurig tijdstip \(t\) te bepalen, analyseren we de beweging van het middelpunt \(A\) van het getrapte wiel en de rotatie van het wiel rond dit middelpunt.
Het middelpunt \(A\) bevindt zich op een vaste afstand tot de oorsprong \(O\), welke berekend wordt als de som van de straal van wiel 1 en de kleine straal van wiel 3, zodat geldt dat \[ R_A = 3a + a = 4a = 4 \times 0.04\text{ m} = 0.16\text{ m} \]. Aangezien het middelpunt \(A\) een eenparige cirkelvormige beweging rond de oorsprong uitvoert met een lineaire snelheid \(v_A = -0.40\text{ m/s}\), kan de constante baanhoeksnelheid \(\Omega\) van de drager \(OA\) worden bepaald via de relatie \(v_A = \Omega \cdot R_A\), waaruit volgt dat \[ \Omega = \frac{-0.40\text{ m/s}}{0.16\text{ m}} = -2.5\text{ rad/s} \]. Dit negatieve teken geeft aan dat de drager met de klok mee roteert, waardoor de hoekverdraaiing ten opzichte van de verticale \(y\)-as beschreven wordt door \(\theta(t) = -2.5t\).
Tegelijkertijd roteert wiel 3 met een absolute hoeksnelheid \(\omega_3 = 4\text{ rad/s}\) tegen de klok in, wat betekent dat de hoekverdraaiing van het punt \(P\) ten opzichte van de horizontale \(x\)-as gegeven wordt door \(\phi(t) = 4t\). De totale positievector \(\vec{r}_P(t)\) van het punt \(P\) is de vectorsom van de positie van het middelpunt \(\vec{r}_A(t)\) en de relatieve positie \(\vec{r}_{P/A}(t)\) van het punt \(P\) ten opzichte van \(A\). Rekening houdend met de initiële configuratie op het tijdstip \(t = 0\), waarbij \(A\) op de \(y\)-as ligt en \(P\) zich op een afstand \(2a = 0.08\text{ m}\) horizontaal rechts van \(A\) bevindt, bekomen we de volgende tijdsafhankelijke positievector:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ 0.16 \sin(-2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(-2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Door gebruik te maken van de goniometrische symmetrie-eigenschappen kan dit worden vereenvoudigd tot:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ -0.16 \sin(2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
De snelheidsvector \(\vec{v}_P(t)\) wordt gevonden door de positievector analitisch te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{v}_P(t) = \frac{d\vec{r}_P(t)}{dt} \]
Dit levert na de kettingregel de volgende uitdrukking voor de snelheid op:
\[ \vec{v}_P(t) = \left[ -0.40 \cos(2.5t) - 0.32 \sin(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -0.40 \sin(2.5t) + 0.32 \cos(4t) \right]\hat{e}_y \]
De versnellingsvector \(\vec{a}_P(t)\) wordt vervolgens bepaald door de snelheidsvector nogmaals te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{a}_P(t) = \frac{d\vec{v}_P(t)}{dt} \]
Hieruit volgt de tijdsafhankelijke versnelling van het punt \(P\):
\[ \vec{a}_P(t) = \left[ 1.00 \sin(2.5t) - 1.28 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -1.00 \cos(2.5t) - 1.28 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Ter controle kunnen we deze resultaten evalueren op het startmoment \(t = 0\), hetgeen resulteert in een initiële snelheid \(\vec{v}_P(0) = -0.40\hat{e}_x + 0.32\hat{e}_y\text{ [m/s]}\) en een initiële versnelling \(\vec{a}_P(0) = -1.28\hat{e}_x - 1.00\hat{e}_y\text{ [m/s}^2\text{]}\). In deze versnelling herkennen we enerzijds de normale versnelling van het middelpunt \(A\) gericht naar de oorsprong \(O\) met een grootte van \(\Omega^2 \cdot R_A = 2.5^2 \times 0.16 = 1.00\text{ m/s}^2\), en anderzijds de centrifugale versnelling van het punt \(P\) ten opzichte van het rotatiecentrum \(A\) met een grootte van \(\omega_3^2 \cdot 2a = 4^2 \times 0.08 = 1.28\text{ m/s}^2\).
Om de snelheid en de versnelling van het punt \(P\) op een willekeurig tijdstip \(t\) te bepalen, analyseren we de beweging van het middelpunt \(A\) van het getrapte wiel en de rotatie van het wiel rond dit middelpunt.
Het middelpunt \(A\) bevindt zich op een vaste afstand tot de oorsprong \(O\), welke berekend wordt als de som van de straal van wiel 1 en de kleine straal van wiel 3, zodat geldt dat \[ R_A = 3a + a = 4a = 4 \times 0.04\text{ m} = 0.16\text{ m} \]. Aangezien het middelpunt \(A\) een eenparige cirkelvormige beweging rond de oorsprong uitvoert met een lineaire snelheid \(v_A = -0.40\text{ m/s}\), kan de constante baanhoeksnelheid \(\Omega\) van de drager \(OA\) worden bepaald via de relatie \(v_A = \Omega \cdot R_A\), waaruit volgt dat \[ \Omega = \frac{-0.40\text{ m/s}}{0.16\text{ m}} = -2.5\text{ rad/s} \]. Dit negatieve teken geeft aan dat de drager met de klok mee roteert, waardoor de hoekverdraaiing ten opzichte van de verticale \(y\)-as beschreven wordt door \(\theta(t) = -2.5t\).
Tegelijkertijd roteert wiel 3 met een absolute hoeksnelheid \(\omega_3 = 4\text{ rad/s}\) tegen de klok in, wat betekent dat de hoekverdraaiing van het punt \(P\) ten opzichte van de horizontale \(x\)-as gegeven wordt door \(\phi(t) = 4t\). De totale positievector \(\vec{r}_P(t)\) van het punt \(P\) is de vectorsom van de positie van het middelpunt \(\vec{r}_A(t)\) en de relatieve positie \(\vec{r}_{P/A}(t)\) van het punt \(P\) ten opzichte van \(A\). Rekening houdend met de initiële configuratie op het tijdstip \(t = 0\), waarbij \(A\) op de \(y\)-as ligt en \(P\) zich op een afstand \(2a = 0.08\text{ m}\) horizontaal rechts van \(A\) bevindt, bekomen we de volgende tijdsafhankelijke positievector:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ 0.16 \sin(-2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(-2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Door gebruik te maken van de goniometrische symmetrie-eigenschappen kan dit worden vereenvoudigd tot:
\[ \vec{r}_P(t) = \left[ -0.16 \sin(2.5t) + 0.08 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ 0.16 \cos(2.5t) + 0.08 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
De snelheidsvector \(\vec{v}_P(t)\) wordt gevonden door de positievector analitisch te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{v}_P(t) = \frac{d\vec{r}_P(t)}{dt} \]
Dit levert na de kettingregel de volgende uitdrukking voor de snelheid op:
\[ \vec{v}_P(t) = \left[ -0.40 \cos(2.5t) - 0.32 \sin(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -0.40 \sin(2.5t) + 0.32 \cos(4t) \right]\hat{e}_y \]
De versnellingsvector \(\vec{a}_P(t)\) wordt vervolgens bepaald door de snelheidsvector nogmaals te differentiëren naar de tijd \(t\):
\[ \vec{a}_P(t) = \frac{d\vec{v}_P(t)}{dt} \]
Hieruit volgt de tijdsafhankelijke versnelling van het punt \(P\):
\[ \vec{a}_P(t) = \left[ 1.00 \sin(2.5t) - 1.28 \cos(4t) \right]\hat{e}_x + \left[ -1.00 \cos(2.5t) - 1.28 \sin(4t) \right]\hat{e}_y \]
Ter controle kunnen we deze resultaten evalueren op het startmoment \(t = 0\), hetgeen resulteert in een initiële snelheid \(\vec{v}_P(0) = -0.40\hat{e}_x + 0.32\hat{e}_y\text{ [m/s]}\) en een initiële versnelling \(\vec{a}_P(0) = -1.28\hat{e}_x - 1.00\hat{e}_y\text{ [m/s}^2\text{]}\). In deze versnelling herkennen we enerzijds de normale versnelling van het middelpunt \(A\) gericht naar de oorsprong \(O\) met een grootte van \(\Omega^2 \cdot R_A = 2.5^2 \times 0.16 = 1.00\text{ m/s}^2\), en anderzijds de centrifugale versnelling van het punt \(P\) ten opzichte van het rotatiecentrum \(A\) met een grootte van \(\omega_3^2 \cdot 2a = 4^2 \times 0.08 = 1.28\text{ m/s}^2\).
