[tex]\frac{1} {\sqrt{1- k^2 \sin^2 x}} = \sum_{m=0}^{\infty}\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}m\end{array}\right) (-k^2\sin^2(x))^m[/tex]

Dan met de gemajoreerde convergentiestelling integreren naar x.

Deze opgave moet ik ook maken! En ik kom er ook totaal niet uit...

Ik weet zeker dat we geen kennis over elliptische integralen nodig hebben, maar we hebben wel meer informatie dan Hugo geeft. De volledige opgave is als volgt:

De periode van een slinger met lengte L, die een maximale hoek [tex]\phi[/tex] met de verticale as maakt is gelijk aan

[tex]T = 4\cdot \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx} {\sqrt{1- k^2 \sin^2 x}}[/tex] waarbij [tex]k=\sin\left({\frac{\phi}{2}}\right)[/tex].

Gebruik de Taylorreeks voor [tex]\frac{1}{\sqrt{1+h}}=(1+h)^{-\frac{1}{2}}[/tex] en de volgende formule (die we reeds hebben afgeleid) :

[tex]\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^{2n} xdx=\frac{1\cdot 3\cdot 5 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot(2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot (2n)} \frac{\pi}{2}[/tex]

om aan te tonen dat

[tex]T \approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{1^2}{2^2}k^2 + \frac{1^2 3^2}{2^2 4^2}k^4 + \frac{1^2 3^2 5^2}{2^2 4^2 6^2}k^6 +\cdots)[/tex]

DE TWEEDE DEELVRAAG:

Als [tex]\phi[/tex] klein is, krijgt men de benadering [tex]T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}[/tex], door de eerste-orde Taylorbenadering te nemen. Een betere benadering krijgen we bij de tweede-orde benadering:

[tex]T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{1}{4}k^2)[/tex].

Merk op dat alle termen in de in a) aangetoonde reeks, na de eerste term, coefficienten hebben die maximaal [tex]\left(\frac{1}{4}\right)[/tex] zijn. Gebruik dat feit om deze reeks te vergelijken met de meetkundige reeks [tex]\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+z^3+\cdots [/tex] en om daarmee aan te tonen dat

[tex]2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}(1+\frac{1}{4}k^2)\leq T \leq 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \frac{4-3k^2}{4-4k^2}[/tex]

Wie o wie geeft mij en Hugo de eerste aanzet (of meer :) )?

Er is een hoop over te vinden, via google - de naam zal dan wel helpen ja :)

tja ik zat zelf te denken aan een subtitutie van [tex]k^2 \sin^2 x[/tex], maar ik kom er niet goed uit, verder is er de hint dat het met de taylorreeks zou moetn kunnen. Ik vind het knap lastig. miss dat ik er wel wat aan heb, kan het beestje nu in ieder geval een naampje geven

De integraal die je geeft is een [i]elliptische integraal[/i] (eerste soort), misschien heb je [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral]hier[/url] of [url=http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html]hier[/url] wat aan.

hey hallo, ik heb een ongelooflijk probleem waar ik totaal niet uitkom:

gegeven is [tex]T = \sqrt{\frac{L}{g}} * \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx} {\sqrt{1- k^2 \sin^2 x}}[/tex]

de vraag is om aan te tonen dat

[tex]T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} (1 + \frac{1^2}{2^2}k^2 + \frac{1^2 3^2}{2^2 4^2}k^4 + \frac{1^2 3^2 5^2}{2^2 4^2 6^2}k^6 +\cdots)[/tex]

kan iemand mij AUB helpen. Alvast bedankt