door Anonymous » za 08 nov 2003, 21:31
Hiermee kun je de oppervlakte (of volume, wel beetje aanpassen dan) van een willekeurig omwentelingslichaam te berekenen. Is makkelijker te onthouden denk ik en de integraal is makkelijker. Werkt ook bij kegels en andere omwentelingslichamen.
Wat je moet weten:
1) wat de omtrek is van een cirkel (C = 2*pi*r)
2) wat de oppervlakte is van een wc-rol (A = C*l), waarbij 'l' de lengte van de wc-rol is.
(nb. Als je het volume van een omwentelingslichaam wilt uitrekenen moet je weten wat de oppervlakte van een cirkel is en hoe je daarmee het volume van een cilinder uitrekent. Anyway, dat terzijde.)
Wat precies gebeurt is dit. De hyperboloide wordt benaderd door wc-rollen (ja, sorry). De grap is dat als er maar genoeg wc-rollen zijn en de lengte van die rollen maar klein genoeg is je het oppervlak van de hyperboloide hebt.
Het lijkt ingewikkeld. Het had gescheeld als ik er wat tekeningetjes bij had gemaakt. Maar dat moet je nu dus zelf doen. Zonder tekeningetjes snap je het denk ik niet, tenzij je Newton himself bent.
>>> teken de functie van de hyperbool y = 2*Sqr(x) in een xyz- stelsel <<<
Opmerking: 'Sqr' betekent wortel, dus bijvoorbeeld Sqr(4) = 2
OK, stel je neemt NIET het hele omwentelingslichaam, maar je snijdt er een plakje uit.
Dat 'plakje' is een cirkel. Duidelijk?
>>> teken de cirkel (maakt niet uit waar op de x-as) <<<
De omtrek van een cirkel is 2*pi*r maar als je de grafiek tekent zul je zien dat de straal r in het xyz-coordinaatstelsel gelijk is aan de y-waarde. Dus de omtrek van de cirkel is 2*pi*y.
>>> geef de radius van de cirkel aan met y <<<
Maar je wilt niet de omtrek, je wilt het oppervlak weten.
OK, trek de cirkel uit tot een wc-rol. Het oppervlak van die wc-rol is de omtrek van de cirkel maal de lengte van die wc-rol.
De lengte van de wc-rol heet vanaf nu 'dx'. De lengte loopt namelijk over een stukje van de x-as, ofwel een stukje x, ofwel dx.
>>> geef de lengte van de wc-rol aan met dx <<<
Ok, dat is het denkwerk. Nu is het alleen nog invullen.
Oppervlak van de wc-rol is omtrek cirkel maal dat stukje op de x-as
Dus (invullen) oppervlak van wc-rol is A = 2*pi*y*dx
Het oppervlak van de hyperboloide is het totaal van alle wc-rollen die je naast elkaar kunt tekenen. Als je 'dx' maar klein genoeg tekent, en maar genoeg wc-rolen tekent, dan zie je geen verschil meer tussen de hyperboloide en de getekende wc-rollen. Dat heet dan de integraal.
waarom dx bij een integraal zo klein wordt snap ik ook niet, maar het werkt wel. En je hoeft er niets voor te doen. Nou, je moet er eigenlijk wel wat voor doen en dat is een dikke stift pakken en een vet integraalteken voor de functie zetten.
Oppervlak hyperboloide is A = INT(2*pi*y*dx) = 2*pi*INT(y*dx)
Nou kun je voor y = 2*Sqr(x) invullen of voor dx = d[(1/4)*y^2]
(noot: dit zijn allebei omwerking van de originele hyperbool functie y = 2*Sqr(x))
Dus je lost op A = 2*pi*INT(2*Sqr(x)*dx)
Of je lost op A = 2*pi*INT(y*d[(1/4)*y^2])
Maakt niet uit welke. Maar ik doe ze ff allebei voor de duidelijkheid.
1e oplossing voor x:
A = 2*pi*INT(2*Sqr(x)*dx)
A = 4*pi*INT(Sqr(x)*dx)
A =(8/3)*pi*x^(3/2)
2e oplossing, maar dan voor y:
A = 2*pi*INT(y*d[(1/4)*y^2])
A = (2*(1/4))*pi*INT(yd[y^2])
A = (2*(1/4))*pi*INT((y*2y)d[y])
A = (2*(1/4))*pi*INT((2y^2)d[y])
A = (1/2))*pi*INT((2y^2)d[y])
A = (1/3)*pi*y^3
Als je A = 5 stelt dan krijg je
y = (15/pi)^(1/3) = 1,68389
x = (15/(8*pi))^(2/3) = 0,70887
Hoop dat ik geen fouten heb gemaakt bij het intypen. Sorry dat ik geen tekeningetjes erbij heb gemaakt, dan zou het heel wat makkelijker te volgen zijn.
Hiermee kun je de oppervlakte (of volume, wel beetje aanpassen dan) van een willekeurig omwentelingslichaam te berekenen. Is makkelijker te onthouden denk ik en de integraal is makkelijker. Werkt ook bij kegels en andere omwentelingslichamen.
Wat je moet weten:
1) wat de omtrek is van een cirkel (C = 2*pi*r)
2) wat de oppervlakte is van een wc-rol (A = C*l), waarbij 'l' de lengte van de wc-rol is.
(nb. Als je het volume van een omwentelingslichaam wilt uitrekenen moet je weten wat de oppervlakte van een cirkel is en hoe je daarmee het volume van een cilinder uitrekent. Anyway, dat terzijde.)
Wat precies gebeurt is dit. De hyperboloide wordt benaderd door wc-rollen (ja, sorry). De grap is dat als er maar genoeg wc-rollen zijn en de lengte van die rollen maar klein genoeg is je het oppervlak van de hyperboloide hebt.
Het lijkt ingewikkeld. Het had gescheeld als ik er wat tekeningetjes bij had gemaakt. Maar dat moet je nu dus zelf doen. Zonder tekeningetjes snap je het denk ik niet, tenzij je Newton himself bent.
>>> teken de functie van de hyperbool y = 2*Sqr(x) in een xyz- stelsel <<<
Opmerking: 'Sqr' betekent wortel, dus bijvoorbeeld Sqr(4) = 2
OK, stel je neemt NIET het hele omwentelingslichaam, maar je snijdt er een plakje uit.
Dat 'plakje' is een cirkel. Duidelijk?
>>> teken de cirkel (maakt niet uit waar op de x-as) <<<
De omtrek van een cirkel is 2*pi*r maar als je de grafiek tekent zul je zien dat de straal r in het xyz-coordinaatstelsel gelijk is aan de y-waarde. Dus de omtrek van de cirkel is 2*pi*y.
>>> geef de radius van de cirkel aan met y <<<
Maar je wilt niet de omtrek, je wilt het oppervlak weten.
OK, trek de cirkel uit tot een wc-rol. Het oppervlak van die wc-rol is de omtrek van de cirkel maal de lengte van die wc-rol.
De lengte van de wc-rol heet vanaf nu 'dx'. De lengte loopt namelijk over een stukje van de x-as, ofwel een stukje x, ofwel dx.
>>> geef de lengte van de wc-rol aan met dx <<<
Ok, dat is het denkwerk. Nu is het alleen nog invullen.
Oppervlak van de wc-rol is omtrek cirkel maal dat stukje op de x-as
Dus (invullen) oppervlak van wc-rol is A = 2*pi*y*dx
Het oppervlak van de hyperboloide is het totaal van alle wc-rollen die je naast elkaar kunt tekenen. Als je 'dx' maar klein genoeg tekent, en maar genoeg wc-rolen tekent, dan zie je geen verschil meer tussen de hyperboloide en de getekende wc-rollen. Dat heet dan de integraal.
waarom dx bij een integraal zo klein wordt snap ik ook niet, maar het werkt wel. En je hoeft er niets voor te doen. Nou, je moet er eigenlijk wel wat voor doen en dat is een dikke stift pakken en een vet integraalteken voor de functie zetten.
Oppervlak hyperboloide is A = INT(2*pi*y*dx) = 2*pi*INT(y*dx)
Nou kun je voor y = 2*Sqr(x) invullen of voor dx = d[(1/4)*y^2]
(noot: dit zijn allebei omwerking van de originele hyperbool functie y = 2*Sqr(x))
Dus je lost op A = 2*pi*INT(2*Sqr(x)*dx)
Of je lost op A = 2*pi*INT(y*d[(1/4)*y^2])
Maakt niet uit welke. Maar ik doe ze ff allebei voor de duidelijkheid.
1e oplossing voor x:
A = 2*pi*INT(2*Sqr(x)*dx)
A = 4*pi*INT(Sqr(x)*dx)
A =(8/3)*pi*x^(3/2)
2e oplossing, maar dan voor y:
A = 2*pi*INT(y*d[(1/4)*y^2])
A = (2*(1/4))*pi*INT(yd[y^2])
A = (2*(1/4))*pi*INT((y*2y)d[y])
A = (2*(1/4))*pi*INT((2y^2)d[y])
A = (1/2))*pi*INT((2y^2)d[y])
A = (1/3)*pi*y^3
Als je A = 5 stelt dan krijg je
y = (15/pi)^(1/3) = 1,68389
x = (15/(8*pi))^(2/3) = 0,70887
Hoop dat ik geen fouten heb gemaakt bij het intypen. Sorry dat ik geen tekeningetjes erbij heb gemaakt, dan zou het heel wat makkelijker te volgen zijn.
