Laat ik de uitwerking nog even geven, voor eventueel geïnteresseerden.
Neem, geheel volgens de opzet van Jan van de Velde, een infinitesimaal dun rechthoekig plakje met dikte
\(d\ell\)
. Nu geldt voor de weerstand hiervan:
\(dR=\frac{\rho}{A}d\ell\)
. Voordat we kunnen integreren, moeten we het oppervlak A uitdrukken in
\(\ell\)
.
De oppervlakte van zo'n rechthoek wordt gegeven door
\(A=D.k\)
, met D de gegeven dikte van de schijf en k als volgt te bepalen (bovenaanzicht van de cirkelvormige schijf):
De groene koorde heeft lengte k, het rode stukje heeft lengte
\(\ell\)
, de straal van de cirkel is r:
\(r=\frac{k^2}{8\ell}+\frac{\ell}{2}\Rightarrow k=\sqrt{\left(r-\frac{\ell}{2}\right)8\ell}\)
.
\(\to dR=\frac{\rho d\ell}{D\sqrt{\left(r-\frac{\ell}{2}\right)8\ell}}=\frac{\rho d\ell}{D\sqrt{8r\ell-4\ell^2}}=\frac{\rho}{2D}\frac{d\ell}{\sqrt{2r\ell-\ell^2}}\)
.
Laten we dit niet integreren van -r tot r, maar twee maal van 0 tot r (twee keer een halve cirkel), om geen complexe integraal/uitkomst te krijgen:
\(R=2\int dR=2\int_0^r \frac{\rho}{2D}\frac{d\ell}{\sqrt{2r\ell-\ell^2}}=\frac{\rho}{D}\left[2\arctan{\left(\sqrt{\frac{\ell}{2r-\ell}}\right)}\right]_{\ell=0}^{\ell=r}\)
\(=\frac{2\rho}{D}[arctan(1)-\arctan(0)]=\frac{2\rho}{D}\left[\frac{\pi}{4}-0\right]=\frac{\rho\pi}{2D}\)
Laat ik de uitwerking nog even geven, voor eventueel geïnteresseerden.
Neem, geheel volgens de opzet van Jan van de Velde, een infinitesimaal dun rechthoekig plakje met dikte [tex]d\ell[/tex]. Nu geldt voor de weerstand hiervan: [tex]dR=\frac{\rho}{A}d\ell[/tex]. Voordat we kunnen integreren, moeten we het oppervlak A uitdrukken in [tex]\ell[/tex].
De oppervlakte van zo'n rechthoek wordt gegeven door [tex]A=D.k[/tex], met D de gegeven dikte van de schijf en k als volgt te bepalen (bovenaanzicht van de cirkelvormige schijf):
[url=http://img237.imageshack.us/my.php?image=circelsq2.png][img]http://img237.imageshack.us/img237/8568/circelsq2.th.png[/img][/url]
De groene koorde heeft lengte k, het rode stukje heeft lengte [tex]\ell[/tex], de straal van de cirkel is r:
[tex]r=\frac{k^2}{8\ell}+\frac{\ell}{2}\Rightarrow k=\sqrt{\left(r-\frac{\ell}{2}\right)8\ell}[/tex].
[tex]\to dR=\frac{\rho d\ell}{D\sqrt{\left(r-\frac{\ell}{2}\right)8\ell}}=\frac{\rho d\ell}{D\sqrt{8r\ell-4\ell^2}}=\frac{\rho}{2D}\frac{d\ell}{\sqrt{2r\ell-\ell^2}}[/tex].
Laten we dit niet integreren van -r tot r, maar twee maal van 0 tot r (twee keer een halve cirkel), om geen complexe integraal/uitkomst te krijgen:
[tex]R=2\int dR=2\int_0^r \frac{\rho}{2D}\frac{d\ell}{\sqrt{2r\ell-\ell^2}}=\frac{\rho}{D}\left[2\arctan{\left(\sqrt{\frac{\ell}{2r-\ell}}\right)}\right]_{\ell=0}^{\ell=r}[/tex]
[tex]=\frac{2\rho}{D}[arctan(1)-\arctan(0)]=\frac{2\rho}{D}\left[\frac{\pi}{4}-0\right]=\frac{\rho\pi}{2D}[/tex]
