Stelling:
Als je een limiet tegenkomt in de vorm van
\(\lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \left (\mbox {f}\left (\frac {1}{n}\right)\right)\)
en je stelt de substitutie
\({1 \over n} = x\)
en er geldt f(x) met x=0 ingevuld geeft 0 en de afgeleide functie is continu op x = 0, dan is de limiet van
\(\lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \left (\mbox {f}\left (\frac {1}{n}\right)\right)\)
gelijk aan f'(x) met x=0.
Voorbeeld:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} n\cdot (e^{1\over n}-1)\)
stel f(x)
\(=e^x - 1\)
, nu is f(0)
\(= e^0 - 1 = 1-1 = 0\)
f'(x)
\(= e^x\)
en f'(0)
\(= e^0 = 1\)
.
Er is aan de voorwaarden van de stelling voldaan, dus
\(\lim_{n \rightarrow \infty} n\cdot (e^{1\over n}-1)\)
= 1
Vraag:
Waarom geldt dit?
