Berekenen van grenswaarde

[leonnetje]

Wie kan mij helpen. Ik moet de grenswaarde van een recurrente betrekking berekenen, maar ik loop tegen moeilijkheden aan.
Zou iemand stap voor stap kunnen uitleggen hoe ik bij het juiste antwoord kom (zodat ik niet alleen deze vraag door heb, maar ook in de toekomst zulke problemen kan oplossen).

Gegeven recurrente betrekking:
P(n)=4,0+1,6*P(n-1)-0,012*(P(n-1))²
Met P(0) = 0

De recurrente betrekking moet een grenswaarde hebben die kleiner is dan 100.

Onderzoek of dit zo is door de grenswaarde van de recurrente betrekking te berekenen.

[siep]

Gegeven is dat
P(n)=4,0+1,6*P(n-1)-0,012*(P(n-1))²
een grenswaarde = limiet heeft die kleiner dan 100 is.
Noem die grenswaarde L
Als de betrekking P deze waarde L echt zou bereiken voor een bepaalde n, dus P(n) = L, dan geldt ook voor alle volgende waarden P(n+1), P(n+2), ... dat die de waarde L houden (anders zou L de grenswaarde niet zijn).
Dus voor L geldt voor een hele grote n (n naar oneindig) dat P(n) = L, P(n+1) = L, P(n+2) = L, ...
Vullen we dit in in de formule, dan krijgen we voor de limiet L:
L=4,0+1,6*L-0,012*L²
ofwel:
0,012*L² - 0.6*L - 4 = 0
Dit is een 2e-graads functie waaruit je L met de abc-formule kunt oplossen.
Je vindt dan 2 waarden voor L.
Omdat P(0)=0 is P(1)=4, en zal de limiet naar een getal gaan tussen 4 en 100.
Neem dan die waarde van L die daar tussen ligt, ik kom uit op L = 55.956959...
(ik verwacht niet dat je echt wiskundig moet bewijzen dat P vanuit P(0)=0 naar L= 55.956959... gaat)