Bol segmenteren met gelijke oppervlakte per segment

[Yannick_sciencetalk]

Hej mensen!

Dit is mijn eerste post dus ik weet nog niet helemaal hoe de zaken op dit forum gaan maar ik zal proberen mijn probleem zo duidelijk uit te leggen.
--------------


Ik ben met een game bezig met een ronde wereld. Een bol dus:


Ik wil deze wereld in segmenten delen op deze manier:


Helaas is het hierboven weergegeven plaatje niet precies wat ik moet hebben. Alle oppervlaktes van de segmenten moeten namelijk even groot zijn:



Wat dus mijn vraag is: Hoe bereken de hoogte gradens van de segmenten met als voorwaarde dat elk oppervlak even groot is?

Groetjes,
Yannick

[Sjoerd Job]

Ben je in staat om de oppervlakte van een segment uit te rekenen? En terug?

(Er is een makkelijke truk, maar de bedoeling is dat we je helpen!)

[Yannick_sciencetalk]

Nee, dit is mij nog niet gelukt. Ik kan de radius van de onderste[Blauw] en bovenste[Rood] gradens berekenen met behulp van de Math.PI. De dikte van het segment kan ik dan zelf ingeven[Groen]. Hoe ik de inhoud dan bereken weet ik niet.


Ik bedacht me dat ik het kon doen op deze manier. Totale oppervlakte - de hoekjes:

Maar deze manier klopt geloof ik niet door de buiging van de de bol.

[Sjoerd Job]

Heb je al leren integreren?

[Yannick_sciencetalk]

Integreren? Als in wiskunde?

Nee, ik ben een programmeur van MBO komaf. Ben echter bezig met het maken van iets dat gemiddeld universitair doet. Vandaar dat ik de theorie wel kan maar bij de praktijk moet bijleren.

[ti-wereld.nl]

Je kan door te integreren met bolcoördinaten makkelijk het oppervlakte berekenen.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... inates.png

\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{0}^{2 \pi} r^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta = r^2 \int_{0}^{2 \pi} d\phi \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = \\ 2\pi r^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = 2\pi r^2 (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)\)

Lukt het je zo?

[Sjoerd Job]

Je kan door te integreren met bolcoördinaten makkelijk het oppervlakte berekenen.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... inates.png

\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{0}^{2 \pi} r^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta = r^2 \int_{0}^{2 \pi} d\phi \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = \\ 2\pi r^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = 2\pi r^2 (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)\)

Lukt het je zo?

Een kleine extra opmerking: De afstand

\(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\)

is hier de hoogte van het stuk (niet gemeten over de bol, maar verticaal). Hier zit ook de basis van de truc.

[Yannick_sciencetalk]

Je kan door te integreren met bolcoördinaten makkelijk het oppervlakte berekenen.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... inates.png

\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{0}^{2 \pi} r^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta = r^2 \int_{0}^{2 \pi} d\phi \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = \\ 2\pi r^2 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta \, d\theta = 2\pi r^2 (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)\)

Lukt het je zo?

Een kleine extra opmerking: De afstand

\(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\)

is hier de hoogte van het stuk (niet gemeten over de bol, maar verticaal). Hier zit ook de basis van de truc.

Sorry, ik kom echt uit het programmeren dus deze formules zijn best lastig voor me aangezien je bij programmeren niet/nauwelijks geconfronteerd word met de wiskundige tekens. Ik denk dat als je me uitlegt wat de tekens betekenen, dat ik ut dan snap.

edit:
Ik ben tot zover met mijn theorie gekomen dat ik eerst het oppervlakte van de totale bol moet berekenen. Die daarna moet delen in de hoeveelheid segmenten die ik wil hebben. Dan moet ik van boven tot onder de segmenten gaan uitrekenen. Hierbij start het eerste segment met 0 en het 2e segment met de hoogste graden van het eerste segment. So on, so on pak je steeds de hoogste graden van het onderliggende segment tot je alle segmenten hebt berekent. (jou

\(\cos \theta_1 - \cos \theta_2\)

) te gebruiken al gradens.

[op=op]

Als je niet weet wat integreren is is het ook niet mogelijk de afleiding uit te leggen. Daar zit heel veel theorie achter. En als je een afleiding zoekt kun je niet zonder integreren.
Gebruik het resultaat.
Jouw redenering begrijp ik niet. Het makkelijkste is het de "truc" van Sjoerd Job te gebruiken.
Dat gaat als volgt:
Stel je wil 20 ringen met gelijke oppervlakten.
Teken een lijn door het middelpunt van de bol. Die lijn snijdt de bol in (zeg) de punten A en B.
Verdeel AB in 20 even grote stukken. (verdeling door punten

\(A,A_1,A_2,\cdots, A_{19},B\)

)
De 19 vlakken door respectievelijk

\(A_1,A_2,\cdots, A_{19}\)

die loodrecht staan op lijn AB verdelen de bol in schijven van gelijke oppervlakte.

[Yannick_sciencetalk]

Als je niet weet wat integreren is is het ook niet mogelijk de afleiding uit te leggen. Daar zit heel veel theorie achter. En als je een afleiding zoekt kun je niet zonder integreren.
Gebruik het resultaat.
Jouw redenering begrijp ik niet. Het makkelijkste is het de "truc" van Sjoerd Job te gebruiken.
Dat gaat als volgt:
Stel je wil 20 ringen met gelijke oppervlakten.
Teken een lijn door het middelpunt van de bol. Die lijn snijdt de bol in (zeg) de punten A en B.
Verdeel AB in 20 even grote stukken. (verdeling door punten

\(A,A_1,A_2,\cdots, A_{19},B\)

)
De 19 vlakken door respectievelijk

\(A_1,A_2,\cdots, A_{19}\)

die loodrecht staan op lijn AB verdelen de bol in schijven van gelijke oppervlakte.

Inderdaad, dit zou de oplossing zijn maar hoe doe ik dit?

Ik ben dit overigens ook aan het vragen op een flash forum aangezien ik dit daar uiteindelijk in moet schrijven. Het ding waar ik achter kwam is dat ik de situatie niet goed omschrijf dus ik heb een aantal variabelen vast gedefinieerd.

De straal tot het midden van de wereld is 20cm.
Het oppervlakte van de wereld is dus 4*3.14*20*2 = 502.4cm2
Ik moet de wereld in 14 stukken verdelen dus elk stuk moet 502.4/14 zijn = 35.89cm2
Nu wil ik van elk van de 14 stukken de y-gradens weten. Let wel op dat elk stuk het bovengelegen oppervlakte moet hebben.

Voor het berekenen van het bovenste stuk weet ik dus het volgende:
Het stuk heeft een oppervlakte van 502.4cm2 / 14 = 35.89cm2.
De xRotatie die benodigd is voor de formule is 2*PI(360 graden)
Dan kun je dus de y rotatie uitrekenen aangezien je de overige variabelen in de formule hebt.
Maarja hoe doe ik dat? Ik weet namelijk niet hoe ik de data moet invoeren en dan te berekenen.

ps: heb al veel geresearched en weet in theorie 'ongeveer' hoe het integreren werkt.

[Sjoerd Job]

De bedoeling is om het interval [-1,1] in N gelijke stukken te verdelen... Dan kan je de hoeken vinden met

\(\arccos \theta\)

.

[ti-wereld.nl]

Als je een straal van 20 hebt, dan is het oppervlak:

\(4\pi r^2=4\pi 20^2=1600\pi\)

Elke segment heeft dan een oppervlakte van:

\(\frac{1600}{n}\pi\)

Oppervlak van een segment tussen hoek

\(\theta_1\)

en

\(\theta_2\)

:

\(2\pi r^2(\cos \theta_1 - \cos theta_2)=800\pi(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)\)

Stel dan oppervlak van een segment gelijk aan het oppervlak die je wil hebben:

\(\frac{1600}{n}\pi=800\pi(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)\)

\(\frac{2}{n}=\cos \theta_1 - \cos \theta_2\)

En dan begin je bij

\(\theta_1=0\)

en dan krijg je:

\(\frac{2}{n}=1-\cos\theta_2\)

\(\cos\theta_2=1-\frac{2}{n}\)

\(\theta_2=\cos^{-1}(1-\frac{2}{n})\)

\(\theta_3\)

is dan

\(\cos^{-1}(1-\frac{2}{n}-\frac{2}{n})=\cos^{-1}(1-\frac{4}{n})\)

etc.

Ik weet niet in hoeveel stukken je hem wil verdelen maar hier:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Table[N[180%2Fpi+ArcCos[1-i+2%2Fn]]%2C{i%2C0%2Cn}]
(link even kopiëren!)

kan je alle graden vinden. Vul n in met het aantal stukken waarin je de bol wil verdelen.

[Yannick_sciencetalk]

Ik heb eigenlijk een vraag aan jullie want ik heb dus de volgende oplossing op het andere forum gekregen:

Oorspronkelijk geplaatst door Dauntless
De hoogtes:
Code:
n: 2.857142857142857
n: 5.714285714285714
n: 8.571428571428573
n: 11.428571428571429
n: 14.285714285714285
n: 17.142857142857146
n: 20
n: 22.857142857142858
n: 25.71428571428571
n: 28.57142857142857
n: 31.42857142857143
n: 34.28571428571429
n: 37.14285714285714
n: 40
Gerekend vanaf het puntje van de bol.

Formule: 2r/14 = 40*14 = 2.857142857142857

Het verrassende is dus dat de oppervlakte enkel afhangt van de hoogte en niet van de locatie op de bol.

Aangezien je de hoogte en de straal hebt, kan je met wat eenvoudige goniometrie de hoeken berekenen:
cosinus a = r / h
a = cos^-1 (r / h)

Voor de onderkant van de bol neem je dan
a = -cos^-1 (/h-20)

Waarom is deze zo eenvoudig vergeleken met die van het wiskunde forum?

[ti-wereld.nl]

Is het al gelukt met: http://bit.ly/9tmJg3 ?

[Yannick_sciencetalk]

Is het al gelukt met: http://bit.ly/9tmJg3 ?

Nee niet helemaal:p maar het is ongeveer gelukt nu. Ik en een vriend van me zijn er goed op gaan zitten en hebben het met die van het andere forum voor elkaar. Er bestaat wel nog enige twijfel over of de berekening wel 100% klopt.

**Ik begrijp het tabel gewoonweg niet, dit komt waarschijnlijk door mijn gebrek aan kennis wat betreft de tekens.