combinatoriek even getal

[brxpower]

Dag iedereen,
Met de cijfers van 0 tot 9 worden getallen bestaande uit cijf verschillende cijfers gevormd.

Hoeveel van deze getallen zijn even en bevatten het cijfer 5?

even: eindigend op 0/2/4/6/8
laatste plaats: 5 mogelijkheden
5 kan je op 4 mogelijke plaatsen zetten
overige plaatsen: variatie van 3 uit 8

=> 20 * variatie van 3 uit 8 = 6720

Maar daar moeten we de even getallen die bevatten en beginnen met 0 van aftrekken:
4 * 3 * variatie van 2 uit 7 = 504

Antwoord: 6720-504 = 6216

Dit vormde niet echt moeite voor me maar volgende vraag wel:

Hoeveel van deze getallen zijn even en bevatten het cijfer 4?

Het lijkt hetzelfde maar aangezien 4 ook een even getal is vermoeilijkt het de bewerking die we moeten uitvoeren. Kan iemand me helpen, liefst analoog naar mijn werkwijze bij de eerste vraag zodat ik alles goed kan volgen.

Bedankt!

[drc.]

Hallo brxpower,

Eerst over de de eerste vraag:
Hoeveel van deze getallen zijn even en bevatten het cijfer 5?
Ik heb het getal gesplits in eenheden (laatste cijfer) en de 4 voorgaande cijfers.
Voor de 4 cijfers geldt dat (minstens? ben ik vanuitgegaan) 1 cijfer 5 is. Dus een cijfer zonder 5 geldt niet.
Hoeveel cijfers zonder 5 zijn er? 9. Hoeveel plaatsen? 4. 9^4 cijfers hebben geen 5. 10^4-9^4=3439 cijfers wel een 5. Voor de middelste 3 cijfers zijn er 10^3-9^3 cijfers die een 5 bevatten. dat is 271. Het eerste cijfer heeft zo 9 mogelijkheden, het laatste heeft er 5. Eerste cijfer: 9 mogelijkheden. middelste 3: 271 mogelijkheden. laatste cijfer: 5 mogelijkheden. 9*271*5=12195 cijfers die even zijn, niet met 0 beginnen, en minstens 1 vijf bevatten. Ik hoop dat dit juist is, en dat je er wat mee kan.

[brxpower]

Hmm,
voor de eerste vraag is het juiste antwoord echt wel 6216 en niet 12195

Let ook op: "Met de cijfers van 0 tot 9 worden getallen bestaande uit vijf verschillende cijfers gevormd."
Er kan dus maar één 5 in elk getal zitten. Misschien dat je daarom tot een ander antwoord komt, geen idee. Overigens is het aangewezen om dit op te lossen via combinatie/variatie; dus via de manier die ik gebruikte. Ik weet wel dat jouw manier daar slechts lichtjes van afwijkt, maar zou iemand me kunnen helpen om de tweede vraag op te lossen met de exacte formules van combinatie & variatie.

Toch bedankt daco!

[drc.]

Ja klopt, ik ben er inderdaad vanuitgegaan dat het niet verschillende cijfers konden zijn, zie het nu in je omschrijving staan.

[brxpower]

Ja klopt, ik ben er inderdaad vanuitgegaan dat het niet verschillende cijfers konden zijn, zie het nu in je omschrijving staan.

ok, toch bedankt

[drc.]

Het was me eerst niet helemaal duidelijk wat je bedoelde met bijv. variatie 3 uit 8, volgens mij is variatie k uit n, \frac{n!}{(n-k)!}. met n,k\in\mathbb{N}, en n≥k. In de praktijk vanaf n terugtellen (met tussenstappen van 1) totdat je k getallen hebt, en dan vermenigvuldigen. Dus 2 variatie 7 geeft 7 en 6, dus variatie 2 uit 7=7*6

Voor het probleem met 4.
Of de 4 staat op de laatste plaats, of de 4 staat op een van de 4 andere plaatsen. Als de 4 op de laatste plaatst staat, zijn er voor het eerste getal 8 mogelijkheden, (0 en 4 niet) en voor de overige 3 variatie 3 uit 8. Geeft 1*8*8*7*6=2688. Als op 1 van de vier andere plaatsen staat, zijn er voor de laatste plaats nog 4 mogelijkheden,verder staat de 4 nog ergens, dus {4 \choose 1}=4. 3 plaatsen over geeft variatie 3 uit 8=8*7*6. Geeft dan 4*4*8*7*6=5376. Daar moeten de getallen die met 0 beginnen nog af. Eerste getal is 0, 4 staat op 1 van de 3 middelste plaatsen, dus {3 \choose 1}=3. De overige 2 zijn variatie 2 uit 7=7*6. En de laatste plaats heeft 4 mogelijkheden, 0,2,6 en 8. Er moeten dus 3*7*6*4 =504 getallen af.

Totaal geeft dat 2688+5376-504=7560 even getallen met 1 vier erin, die niet met 0 beginnen. Klopt dit?

[brxpower]

Het juiste antwoord is 7686.

Ik kan me redelijk goed vinden in jouw bewerking maar blijkbaar zit er toch nog ergens een foutje.

Bedankt hoor

[drc.]

Nou, het verschil tussen het juiste antwoord is 126. Als mijn redenering goed was, kan je op de 7686 komen door niet 504 maar 378 van het antwoord af te halen. dus 3*7*6*3 ipv 3*7*6*4. dan kom je goed uit, maar waarom zou je dat doen?