Galoistheorie

[Professor Puntje]

In dit topic ga ik proberen de basis van de galoistheorie te doorgronden. Hopelijk zijn er hier mensen die mijn vragen daarover kunnen beantwoorden.

[Professor Puntje]

Wat is een Lagrange resolvent? Is daar ergens een eenvoudige uitleg over te vinden?

[Professor Puntje]

Deze pdf schept wat duidelijkheid: https://digitalcommons.ursinus.edu/cgi/ ... s_abstract

[Professor Puntje]

Laten we eenvoudig beginnen. Op te lossen:

\(\)

\( \mathrm{a} x^2 + \mathrm{b} x + \mathrm{c} = 0 \,\,\,\,\,\, (\mathrm{met} \,\, a \neq 0) \)

\(\)

Dan hebben we:

\(\)

\( \mathrm{a} x^2 + \mathrm{b} x + \mathrm{c} = 0 \)

\(\)

\( x^2 + \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} x + \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} = 0 \)

\(\)

\( x^2 + 2 \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} x + (\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 - (\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 + \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} = 0 \)

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 - (\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 + \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} = 0 \)

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = (\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 - \frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}} \)

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = \frac{\mathrm{b}^2}{(2 \mathrm{a})^2} - \frac{4 \mathrm{a} \mathrm{c}}{(2 \mathrm{a})^2} \)

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = \frac{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}{(2 \mathrm{a})^2} \)

\(\)

\(\)

Voor b² - 4ac > 0 zijn er twee reële oplossingen:

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \pm \frac{\sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\( x = - \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} \pm \frac{\sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\( x = \frac{- \mathrm{b} \, \pm \, \sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\(\)

Voor b² - 4ac = 0 is er slechts één reële oplossing:

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = 0 \)

\(\)

\( x = - \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\(\)

Voor b² - 4ac < 0 zijn er geen reële oplossingen, maar wel twee complexe oplossingen:

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \pm \frac{i \, \sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\( x = - \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} \pm \frac{i \, \sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\( x = \frac{- \mathrm{b} \,\, \pm \, i \, \sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\(\)

[Professor Puntje]

Voor b² - 4ac < 0 zijn er geen reële oplossingen, maar wel twee complexe oplossingen

Ja - dat klopt, maar bestaat er ook een eenvoudig bewijs dat we voor b² - 4ac < 0 met de vermelde twee oplossingen ook alle complexe oplossingen gehad hebben? Volgens de hoofdstelling van de algebra kunnen er in ons geval niet meer dan twee complexe oplossingen zijn, maar die hoofdstelling is weer niet gemakkelijk te bewijzen.

[Professor Puntje]

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = \frac{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}{(2 \mathrm{a})^2} \)

\(\)

Dus voor b² - 4ac < 0 hebben we:

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = \frac{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}{(2 \mathrm{a})^2} \cdot e^{i \pi}\)

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \frac{\sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \cdot e^{i (\frac{\pi + 2k \pi}{2})} \,\,\,\,\, (\forall k \in \mathbb{Z} ) \)

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \frac{\sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \cdot e^{i (\frac{\pi}{2} + k \pi)} \,\,\,\,\, (\forall k \in \mathbb{Z} )\)

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \frac{\sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \cdot \pm i \)

\(\)

\( x = - \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} \pm \frac{i \, \sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\( x = \frac{- \mathrm{b} \,\, \pm \, i \, \sqrt{-(\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c})}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

Dat zijn hier dus inderdaad alle complexe oplossingen.

[die hanze]

Nogal vreemd om een heel boek in een topic te beschrijven.
Wat is galois-theorie? Waar wordt het voor gebruikt? Wat is de benodigde voorkennis?
Waarom wil je galois theorie begrijpen? Lijkt me zo een willekeurig topic gekozen uit een een wiskunde curriculum.

[Math-E-Mad-X]

Voor b² - 4ac < 0 zijn er geen reële oplossingen, maar wel twee complexe oplossingen

Ja - dat klopt, maar bestaat er ook een eenvoudig bewijs dat we voor b² - 4ac < 0 met de vermelde twee oplossingen ook alle complexe oplossingen gehad hebben? Volgens de hoofdstelling van de algebra kunnen er in ons geval niet meer dan twee complexe oplossingen zijn, maar die hoofdstelling is weer niet gemakkelijk te bewijzen.

Ik neem aan dat het juist één van de doelen van je cursus is om naar het bewijs van de hoofdstelling toe te werken (het is dus niet iets wat je bij voorbaat aan kunt nemen voordat je aan de cursus begint).

Althans, dat is hoe ik mij mijn cursus Galoistheorie herriner, maar ik kan me vergissen.

[Professor Puntje]

Nu nog even bewijzen dat er voor b² - 4ac > 0 enkel reële oplossingen zijn (het geval b² - 4ac = 0 is geen probleem).

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = \frac{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}{(2 \mathrm{a})^2} \)

\(\)

Dus voor b² - 4ac > 0 hebben we:

\(\)

\( ( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}})^2 = \frac{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}{(2 \mathrm{a})^2} \cdot e^{i \cdot 0}\)

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \frac{\sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \cdot e^{i (\frac{2k \pi}{2})} \,\,\,\,\, (\forall k \in \mathbb{Z} ) \)

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \frac{\sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \cdot e^{i (k \pi)} \,\,\,\,\, (\forall k \in \mathbb{Z} )\)

\(\)

\( x + \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} = \frac{\sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \cdot \pm 1 \)

\(\)

\( x = - \frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}} \pm \frac{\sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

\( x = \frac{- \mathrm{b} \,\, \pm \, \sqrt{\mathrm{b}^2 - 4 \mathrm{a} \mathrm{c}}}{2 \mathrm{a}} \)

\(\)

Dus zijn er in dit geval (b² - 4ac > 0) inderdaad enkel reële oplossingen.

[Professor Puntje]

Nogal vreemd om een heel boek in een topic te beschrijven.

Maar zulke gekkigheid is mij niet vreemd. ;)

Wat is galois-theorie? Waar wordt het voor gebruikt? Wat is de benodigde voorkennis?

Galoistheorie houdt zich (onder meer) bezig met de vraag voor welke algebraïsche vergelijkingen er exacte oplossingen in formulevorm bestaan. Je kunt dat zien als een soort van afsluiting van de klassieke algebra.

Waarom wil je galois theorie begrijpen? Lijkt me zo een willekeurig topic gekozen uit een een wiskunde curriculum.

Er zijn nog een paar exacte zaken die mij hevig interesseren en waar ik in mijn lang geleden voortijdig afgebroken studie niet aan toe ben gekomen of die ik toen niet begreep. Omdat ik ook niet meer de jongste ben wil die zaken nu vanuit een soort van nu-of-nooit offensief eindelijk onder de knie krijgen.

[Professor Puntje]

Voor b² - 4ac < 0 zijn er geen reële oplossingen, maar wel twee complexe oplossingen

Ja - dat klopt, maar bestaat er ook een eenvoudig bewijs dat we voor b² - 4ac < 0 met de vermelde twee oplossingen ook alle complexe oplossingen gehad hebben? Volgens de hoofdstelling van de algebra kunnen er in ons geval niet meer dan twee complexe oplossingen zijn, maar die hoofdstelling is weer niet gemakkelijk te bewijzen.

Ik neem aan dat het juist één van de doelen van je cursus is om naar het bewijs van de hoofdstelling toe te werken (het is dus niet iets wat je bij voorbaat aan kunt nemen voordat je aan de cursus begint).

Althans, dat is hoe ik mij mijn cursus Galoistheorie herriner, maar ik kan me vergissen.

Het is ook geen cursus, ik doe dit op eigen houtje. Wel heb ik onderstaande boek besteld dat ik helemaal door wil werken:

https://books.google.nl/books?id=rq_xBw ... &q&f=false

[mathfreak]

Wat is Galoistheorie?

Galoistheorie is een onderdeel uit de algebra waarin men bepaalde lichaamsuitbreidingen (Engels: field extensions) bestudeert om zo bepaalde algebraïsche problemen nader te kunnen bestuderen.

Waar wordt het voor gebruikt?

Galoistheorie geeft de mogelijkheid om algebraïsch aan te tonen dat meetkundige constructies als de verdubbeling van de kubus, de trisectie van een hoek in algemene zin en de kwadratuur van de cirkel niet uitvoerbaar zijn. Ook verklaart de Galoistheorie waarom een polynoomvergelijking van graad n uitsluitend voor n<5 algebraïsch oplosbaar is, en dat de constructie van een regelmatige n-hoek slechts voor zeer bepaalde waarden van n (bijvoorbeeld
n = 17) mogelijk is.

Wat is de benodigde voorkennis?

In ieder geval een gedegen voorkennis van groepen en lichamen. In Vlaanderen hanteert men in plaats van het begrip lichaam het begrip veld, in navolging van het Engelde field. De Nederlandse terminologie berust op de vertaling van het Duitse woord Körper, dat in de algebraïsche betekenis in 1910 in het boek Algebraische Theorie der Körper, geschreven door Ernst Steinitz (1871-1928), werd geïntroduceerd.

Waarom wil je Galoistheorie begrijpen?

Daar zijn meerdere redenen voor te bedenken. Een er van is een verklaring te vinden waarom bepaalde problemen niet of slechts onder zeer strikte voorwaarden vanuit algebraïsch oogpunt oplosbaar zijn. Een andere reden is dat het vanuit de geschiedenis van de wiskunde beschouwd interessant is om te zien hoe een bepaalde wiskundige theorie precies tot ontwikkeling is gekomen. Jouw vraag zou eventueel tot de tegenvraag kunnen leiden wat er volgens jou eigenlijk precies op tegen is om Galoistheorie te willen begrijpen.

[Professor Puntje]

Mooie antwoorden mathfreak! :D

[mathfreak]

Mooie antwoorden mathfreak! :D

Dank je. :)

[ctjacobs]

Voor b² - 4ac < 0 zijn er geen reële oplossingen, maar wel twee complexe oplossingen

Ja - dat klopt, maar bestaat er ook een eenvoudig bewijs dat we voor b² - 4ac < 0 met de vermelde twee oplossingen ook alle complexe oplossingen gehad hebben? Volgens de hoofdstelling van de algebra kunnen er in ons geval niet meer dan twee complexe oplossingen zijn, maar die hoofdstelling is weer niet gemakkelijk te bewijzen.

Als je een wortel x0 hebt kun je die uitdelen Deel het polynoom door (x - x0) en de graad gaat een omlaag. Daaruit volgt direct dat een n_de graads polynoom niet meer dan n wortels kan hebben want de graad kan niet vaker dan n keer een omlaag. Dit bewijs geldt alleen als je mag aannemen dat een product nul is desda een van de factoren nul is dus voor reële en complexe getallen is het ok maar als je bijvoorbeeld modulo 6 rekent werkt het niet.