Gevloerde getallen

[Professor Puntje]

Als spin off van de discussie over het Collatz-vermoeden stel ik het volgende getallen-systeem voor:

Het systeem van de gevloerde getallen \( \mathbb{F} \) (floored numbers) bestaat uit de verzameling van alle formele uitdrukkingen van de vorm \( x + y h \) met \( x,y \in \mathbb{R} \) en de optelling en vermenigvuldiging:

\( (a + bh) + (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \)
\( (a + bh) \cdot (c + dh) = ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \, \, + \,\, ((a+b) \cdot (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) h \)
(voor: \( \mathrm{split}(x) = \mathrm{floor}(\frac{x}{2}) \))

Verder definiëren we de lengte \( \mathcal{L}(g) \), het even deel \( \mathcal{E}(g) \) en de rest \( \mathcal{R}(g) \) van een gevloerd getal g = x+yh als:

\( \mathcal{L}(x+yh) = x+y \)
\( \mathcal{E}(x+yh) = x \)
\( \mathcal{R}(x+yh) = y \)


Lijkt dit ergens naar? En bestaat zo'n systeem wellicht allang?

[Professor Puntje]

Laat \( g_1 = a+bh \) en \( g_2 = c+dh \). Dan hebben we:

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}((a+bh) + (c+dh)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}( \, ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) h \, ) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d) ) \,\, + \,\, ((a+b+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(a+b+c+d)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = a+b+c+d \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = (a+b) + (c+d) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}(a+bh) + \mathcal{L}(c+dh) \)

\( \mathcal{L}(g_1 + g_2) = \mathcal{L}(g_1) + \mathcal{L}(g_2) \)

[Professor Puntje]

Laat opnieuw \( g_1 = a+bh \) en \( g_2 = c+dh \). Dan vinden we ook:

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}((a+bh) \cdot (c+dh)) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}( \, ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \,\, + \,\, (((a+b) \cdot (c+d)) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) h \, ) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = ( 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d)) ) \,\, + \,\, (((a+b) \cdot (c+d)) - 2 \cdot \mathrm{split}((a+b) \cdot (c+d))) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = (a+b) \cdot (c+d) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(a+bh) \cdot \mathcal{L}(c+dh) \)

\( \mathcal{L}(g_1 \cdot g_2) = \mathcal{L}(g_1) \cdot \mathcal{L}(g_2) \)

[Professor Puntje]

Wat is het nut hiervan? De achterliggende gedachte is om later ook met deze gevloerde getallen Collatz-rijen te vormen. Hopelijk zijn de eigenschappen van dit getallensysteem behulpzaam om iets meer over de Collatz-rijen te weten te komen. En zo niet - dan is het toch leuk om wat met dit getallensysteem te spelen.

[Professor Puntje]

Heeft het systeem van de gevloerde getallen een nul-element? Als dat zo is dan moet er in ieder geval een gevloerd getal c+dh bestaan zodat (1+0h) + (c+dh) = 1+0h. Laten we dat bekijken:

\( (1+0h) + (c+dh) = 1+0h \)

\( ( 2 \cdot \mathrm{split}(1+0+c+d) ) \,\, + \,\, ((1+0+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(1+0+c+d)) h \, = \, 1+0h \)

\( 2 \cdot \mathrm{split}(1+c+d) = 1 \,\,\,\, \& \,\,\,\, (1+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(1+c+d) \, = \, 0 \)

\( \mathrm{split}(1+c+d) = \frac{1}{2} \,\,\,\, \& \,\,\,\, (1+c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(1+c+d) \, = \, 0 \)

Er bestaan geen reële getallen c en d die daaraan voldoen, en dus heeft het systeem van de gevloerde getallen geen nul-element.

[Professor Puntje]

Heeft het systeem van de gevloerde getallen dan wel een een-element? Als dat zo is dan moet er in ieder geval een gevloerd getal c+dh bestaan zodat (1+0h) . (c+dh) = 1+0h. Laten we dat bekijken:

\( (1+0h) \cdot (c+dh) = 1+0h \)

\( ( 2 \cdot \mathrm{split}((1+0) \cdot (c+d)) ) \,\, + \,\, (((1+0) \cdot (c+d)) - 2 \cdot \mathrm{split}((1+0) \cdot (c+d))) h \, = \, 1+0h \)

\( ( 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) ) \,\, + \,\, ((c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(c+d)) h \, = \, 1+0h \)

\( 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) = 1 \,\,\,\, \& \,\,\,\, (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) \, = \, 0 \)

\( \mathrm{split}(c+d) = \frac{1}{2} \,\,\,\, \& \,\,\,\, (c+d) - 2 \cdot \mathrm{split}(c+d) \, = \, 0 \)

Er bestaan geen reële getallen c en d die daaraan voldoen, en dus heeft het systeem van de gevloerde getallen ook geen een-element.

[Professor Puntje]

Omdat het systeem van de gevloerde getallen geen nul-element "O" heeft bestaan er voor gevloerde getallen g ook ook geen tegengestelde elementen -g zodanig dat g + -g = "O".

[Professor Puntje]

We noemen een gevloerd getal g een pseudo-nulelement dan en slechts dan wanneer: \( \mathcal{L}(g) = 0 \). Wegens de definitie van de lengte van een gevloerd getal zijn dan precies die gevloerde getallen a+bh pseudo-nulelementen waarvoor a+b=0. Voor alle gevloerde getallen g en pseudo-nulelementen \( \tilde{0} \) geldt dan dat:

\( \mathcal{L}(g + \tilde{0}) = \mathcal{L}(g) + \mathcal{L}(\tilde{0}) \)
\( \mathcal{L}(g + \tilde{0}) = \mathcal{L}(g) + 0 \)
\( \mathcal{L}(g + \tilde{0}) = \mathcal{L}(g) \)

[Professor Puntje]

We noemen een gevloerd getal a+bh een pseudo-eenheidselement dan en slechts dan wanneer: \( \mathcal{L}(a+bh) = 1 \). Wegens de definitie van de lengte van een gevloerd getal zijn dan precies die gevloerde getallen a+bh pseudo-eenheidselementen waarvoor a+b=1. Voor alle gevloerde getallen g en pseudo-eenheidselementen \( \tilde{1} \) geldt dan dat:

\( \mathcal{L}(g \cdot \tilde{1}) = \mathcal{L}(g) \cdot \mathcal{L}(\tilde{1}) \)
\( \mathcal{L}(g \cdot \tilde{1}) = \mathcal{L}(g) \cdot 1 \)
\( \mathcal{L}(g \cdot \tilde{1}) = \mathcal{L}(g) \)

[Professor Puntje]

Het systeem van de gevloerde getallen bezit geen nul-element, maar wel pseudo-nulelementen \( \tilde{0} \). En voor al die pseudo-nulelementen \( \tilde{0} \) geldt per definitie: \( \mathcal{L}(\tilde{0}) = 0 \). Onder een pseudo-tegengestelde van een gevloerd getal g verstaan we nu een gevloerd getal \( \overline{g} \) dat voldoet aan:

\( \mathcal{L}(g + \overline{g}) = \mathcal{L}(\tilde{0}) \)

( Oftewel: \( \mathcal{L}(g + \overline{g}) = 0 \) )

Laat nu \( g = a+bh \) en \( \overline{g} = c+dh \). Dan geldt daarvoor:

\( \mathcal{L}(g + \overline{g}) = 0 \)

\( \mathcal{L}(g) + \mathcal{L}(\overline{g}) = 0 \)

\( \mathcal{L}(\overline{g}) = - \mathcal{L}(g) \)

\( c+d = - (a+b) \)

[Regor]

Aan PP,

Wat is Uw bedoelin ?
Ik zie (voorlopig) niet in dat het Collatz vermoeden oplosbaar is met "gemodifieerde" getal systemen.

[Professor Puntje]

Voor een idee van wat de bedoeling is kun je alvast onderstaande proberen uit te rekenen:

\( (1+0h) \cdot (13+0h) \)

De basis is bijna klaar, moet nog een paar dingen definiëren....

[Professor Puntje]

Het is logischer om de overline te gebruiken voor pseudo-omgekeerden, dus schijf ik de pseudo-tegengestelden toch maar liever met een underline. Zo dus:

Het systeem van de gevloerde getallen bezit geen nul-element, maar wel pseudo-nulelementen \( \tilde{0} \). En voor al die pseudo-nulelementen \( \tilde{0} \) geldt per definitie: \( \mathcal{L}(\tilde{0}) = 0 \). Onder een pseudo-tegengestelde van een gevloerd getal g verstaan we nu een gevloerd getal \( \underline{g} \) dat voldoet aan:

\( \mathcal{L}(g + \underline{g}) = \mathcal{L}(\tilde{0}) \)

( Oftewel: \( \mathcal{L}(g + \underline{g}) = 0 \) )

Laat nu \( g = a+bh \) en \( \underline{g} = c+dh \). Dan geldt daarvoor:

\( \mathcal{L}(g + \underline{g}) = 0 \)

\( \mathcal{L}(g) + \mathcal{L}(\underline{g}) = 0 \)

\( \mathcal{L}(\underline{g}) = - \mathcal{L}(g) \)

\( c+d = - (a+b) \)

[Professor Puntje]

Het systeem van de gevloerde getallen bezit geen eenheidselement, maar wel pseudo-eenheidselementen \( \tilde{1} \). En voor al die pseudo-eenheidselementen \( \tilde{1} \) geldt per definitie: \( \mathcal{L}(\tilde{1}) = 1 \). Onder een pseudo-omgekeerde van een gevloerd getal g met \( \mathcal{L}(g) \neq 0 \) verstaan we nu een gevloerd getal \( \overline{g} \) dat voldoet aan:

\( \mathcal{L}(g \cdot \overline{g}) = \mathcal{L}(\tilde{1}) \)

( Oftewel: \( \mathcal{L}(g \cdot \overline{g}) = 1 \) )

Laat nu \( g = a+bh \) met \( \mathcal{L}(g) \neq 0 \) en \( \overline{g} = c+dh \). Dan geldt daarvoor:

\( \mathcal{L}(g \cdot \overline{g}) = 1 \)

\( \mathcal{L}(g) \cdot \mathcal{L}(\overline{g}) = 1 \)

\( \mathcal{L}(\overline{g}) = \frac{1}{ \mathcal{L}(g) } \)

\( c+d = \frac{1}{a+b} \)

[Professor Puntje]

Voor een idee van wat de bedoeling is kun je alvast onderstaande proberen uit te rekenen:

\( (1+0h) \cdot (13+0h) \)

De berekening gaat zo:

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = ( 2 \cdot \mathrm{split}((1+0) \cdot (13+0)) ) \, \, + \,\, ((1+0) \cdot (13+0) - 2 \cdot \mathrm{split}((1+0) \cdot (13+0))) h \)

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(1 \cdot 13) ) \, \, + \,\, (1 \cdot 13 - 2 \cdot \mathrm{split}(1 \cdot 13)) h \)

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = ( 2 \cdot \mathrm{split}(13) ) \, \, + \,\, (13 - 2 \cdot \mathrm{split}(13)) h \)

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = ( 2 \cdot \mathrm{floor}(\frac{13}{2}) ) \, \, + \,\, (13 - 2 \cdot \mathrm{floor}(\frac{13}{2})) h \)

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = ( 2 \cdot \mathrm{floor}(6,5) ) \, \, + \,\, (13 - 2 \cdot \mathrm{floor}(6,5)) h \)

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = ( 2 \cdot 6 ) \, \, + \,\, (13 - 2 \cdot 6) h \)

\( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) = 12 + 1h \)

Dus:

\( \mathcal{E}( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) ) = 12 \)

\( \mathcal{R}( (1 + 0h) \cdot (13 + 0h) ) = 1 \)

Wat valt je daaraan op?