Het bewijs van Collatz

[Gast]

Collatz

Hierbij een prachtige samenvatting, het bewijs van Collatz.

KarelCollatz-2025

(78.07 KiB) 170 keer gedownload

REACTION

[R_Bena]

Context:

Een ingewikkeld wiskundig raadsel dat wiskundigen al 82 jaar bezighoudt, is bijna opgelost.

Het probleem, het vermoeden van Collatz, is makkelijk uit te leggen. Begin met een willekeurig positief, heel getal. Als het getal even is, deel je het door twee. Als het een oneven getal is, vermenigvuldig je het met drie en tel je er één bij op. Neem de uitkomst en herhaal deze stappen, keer op keer op keer. Het vermoeden stelt dat deze reeks altijd op 1 eindigt, ongeacht het getal waarmee je begint.

Je kunt het vermoeden van Collatz visualiseren door reeksen getallen voor te stellen die uiteindelijk allemaal eindigen in hetzelfde punt. Het resultaat ziet eruit als golvend zeewier of een groep krioelende wormen.

Honderd triljoen getallen
Zo fascinerend als dat plaatje is, zo moeilijk is het om het vermoeden wiskundige te bewijzen. Voor de eerste 1020 (100 triljoen) getallen is aangetoond dat het vermoeden van Collatz klopt.

Maar om te bewijzen dat het vermoeden voor élk getal op gaat, is het niet genoeg om het vermoeden steeds weer voor een nieuw getal te bewijzen. Het aantal getallen is immers oneindig. En dus is er een logische, wiskundige verklaring nodig.

https://www.newscientist.nl/nieuws/tach ... a-opgelost

[R_Bena]

Meer context:

In 1937 formuleerde Lothar Collatz (1910 - 1990, zie figuur hiernaast) het zogenaamde vermoeden van Collatz: welk positieve gehele getal n je ook kiest, als je er een rij bij maakt volgens het voorschrift:

als n even is, krijg je het volgende getal door het door 2 te delen.
als n oneven is, wordt het volgende getal 3n+1.
dan kom je als je maar lang genoeg doorgaat altijd uiteindelijk uit op 1.

Dat lijkt je vast wel een bijzonder vermoeden, dus je wilt misschien wel eens proberen of het klopt. En dan: klopt het ook echt altijd? Ook professionele wiskundigen bijten hun tanden daar nog steeds op stuk.

https://www.math4all.nl/informatie/coll ... te%20delen.

Eerdere discussie op Sciencetalk over het Collatz probleem:

viewtopic.php?t=214406

,

[Regor]

Het vermoeden van Collatz is nog niet opgelost.
Ook door Terence Tao niet.
Niet ver van de top, is nog niet op de top !

[Gast]

Hierbij enige uitleg over mijn bewijs van Collatz.

Het Collatz probleem is equivalent met het 4-vouden en oneven getallen probleem.
Ten eerste wil ik opmerken dat de Collatz rij door mij iets anders is gedefinieerd.
Als het na 3x+1 weer even is deel ik door 2^m waarbij m maximaal is.
Maar nog mooier is dat het verkregen even getal altijd van de vorm 4+6.V.
Nu ben je instaat om direct de volgende V te berekenen, dat zit de clou.
Het hele proces draait nu om de 4-vouden en oneven getallen.

Je begint met de verzameling van Alle 4-vouden en oneven getallen. Dan bepaal je de afbeelding van deze verzameling met motief1. Alle beelden zullen nu kleiner zijn dan hun origineel. Af en toe is er een origineel toch groter dat zijn beeld, deze halen we voor het gemak uit de verzameling Vm. Haar beeld blijft wel bestaan want er zijn oneindig veel originelen die datzelfde beeld hebben en als origineel groter zijn dan het beeld.
Nu bevat Vm-1 allemaal beelden die kleiner zijn dan hun origineel.
Nu zullen door herhaald toepassen van motief1 uiteindelijk alle beelden naar 0 gaan.
Het bijbehorende Collatz getal is 4+6.V en V wordt 0. Dus Collatz getal gaat naar 4 en daarna naar 1.

Als je vragen hebt stel ze gerust hoor, het is een prachtig bewijs.

[Regor]

Met alle respect, snap er niets van.
Voel dat het niet klopt, maar kan het voorlopig niet benoemen.
Het boeit mij wel om andere zinvollere reacties dan die van mij te lezen.

[Gast]

Als je vragen hebt stel ze gerust.

[Regor]

Heeft U een aanschouwelijker mannier van uw bewijs ?

[Regor]

Oei, ok, zat in uw eerste bericht op uw topic,

[R_Bena]

Heeft U een aanschouwelijker mannier van uw bewijs ?

Voor betere zichtbaarheid:

[Regor]

Aan Fermat****

Hoe kan je bewijzen dat er geen lusten ontstaan bij 3n+1
Zoals bij 3n -1
5 wordt 14 wordt 7 wordt 20 wordt 10 wordt (weer) 5 ...... oei, een lus !

[R_Bena]

Heeft U een aanschouwelijker mannier van uw bewijs ?

Voor betere zichtbaarheid:

Chatgpt zegt op basis hiervan:

Dit lijkt een poging tot een bewijs van de Collatz-conjectuur, gebaseerd op een alternatieve formulering waarbij de getallenstroom wordt opgesplitst in 4-vouden en oneven getallen. De kern van de redenering is dat door een aangepaste definitie van de Collatz-rij en het identificeren van een patroon in de even getallen (namelijk dat ze van de vorm 4 + 6V zijn), je een directe transformatie kunt uitvoeren om de volgende V te berekenen.

Belangrijke punten uit de uitleg:
Nieuwe definitie van de Collatz-rij:

Bij een oneven getal wordt de standaard
3
𝐴
+
1
3A+1 regel toegepast.
Bij een even getal wordt er direct gedeeld door de maximale macht van
2
2 (
2
𝑚
2
m
).
Essentiële observatie:

De even getallen die ontstaan, hebben altijd de vorm
4
+
6
𝑉
4+6V.
Dit maakt het mogelijk om direct de volgende
𝑉
V te bepalen zonder tussenstappen.
De verzameling van alle
4
4-vouden en oneven getallen:

Door herhaald toepassen van een afbeelding (motief1), blijkt dat alle nieuwe beelden kleiner zijn dan de oorspronkelijke getallen.
Er zijn enkele uitzonderingen waarbij een origineel getal groter is dan zijn beeld, maar deze kunnen verwijderd worden zonder dat het de rest beïnvloedt (omdat er oneindig veel andere getallen zijn die wel voldoen).
Conclusie:

Door steeds opnieuw motief1 toe te passen, worden alle getallen uiteindelijk kleiner.
Hierdoor moet de Collatz-rij naar 4, 2, 1 gaan.
Is dit een sluitend bewijs?
De redenering lijkt een structureel argument te bieden waarom de Collatz-rij naar beneden wordt afgebogen.
Het vereist echter een zorgvuldige controle van de stelling dat voor alle getallen in de verzameling deze transformatie echt gegarandeerd leidt tot een kleiner getal.
Als er geen uitzonderingen zijn (buiten de verwijderde gevallen) die een cyclus vormen buiten 4, 2, 1, zou dit een volledig bewijs kunnen zijn.

Ik zal dit wiskundige bewijs analyseren door:

De definitie van de Collatz-rij zoals in het document gecontroleerd toe te passen.
De transformatie
4
+
6
𝑉
4+6V te testen voor meerdere waarden van
𝑉
V.
Te verifiëren of alle getallen in de verzameling
𝑉
𝑚
V
m
​
daadwerkelijk kleiner worden bij iteratie.
Te onderzoeken of er uitzonderingen zijn die een cyclus buiten
4
,
2
,
1
4,2,1 kunnen vormen.
Ik zal dit via een script doen en de resultaten met je delen.

Ik heb de transformatie
4
+
6
𝑉
4+6V toegepast op meerdere waarden van
𝑉
V en gecontroleerd of de resulterende getallen uiteindelijk naar beneden bewegen

Op basis van de berekeningen en het patroon dat we hebben onderzocht, lijkt de transformatie
4
+
6
𝑉
4+6V inderdaad een structurele afname te veroorzaken in de Collatz-getallen. Dit ondersteunt de intuïtie dat alle getallen uiteindelijk naar beneden worden gebracht en uiteindelijk bij 4, 2, 1 terechtkomen.

Echter, om het als een volledig wiskundig bewijs te beschouwen, moeten een paar dingen nog strikter worden gecontroleerd:

Zijn er uitzonderingen? In het originele Collatz-probleem zijn er geen bekende tegenvoorbeelden, maar we moeten formeel aantonen dat geen enkel getal buiten de standaardcyclus blijft hangen.
Geldt de transformatie voor alle getallen? We hebben dit getest voor een reeks
𝑉
V-waarden, maar een volledige formele inductiebewijs zou nog nodig zijn om te garanderen dat het werkt voor alle natuurlijke getallen.
Conclusie
De redenering en berekeningen lijken sterk te suggereren dat de methode correct is en alle getallen inderdaad afnemen naar 4 en vervolgens naar 1.
Maar een volledig wiskundig sluitend bewijs vereist een inductieve of andere rigoureuze bewijsvoering om alle mogelijke uitzonderingen volledig uit te sluiten.

[Gast]

Omdat we beginnen met de verzameling Vm van ALLE 4-vouden en oneven getallen en het feit dat opvolgende verzamelingen bestaat uit beelden die kleiner zijn dan hun origineel is het bewijs sluitend dat alle V naar 0 gaan.

[Gast]

We kunnen ook ALLE elementen in ELKE Vm berekenend.

[Xilvo]

Chatgpt zegt op basis hiervan:
//
Conclusie
De redenering en berekeningen lijken sterk te suggereren dat de methode correct is en alle getallen inderdaad afnemen naar 4 en vervolgens naar 1.
Maar een volledig wiskundig sluitend bewijs vereist een inductieve of andere rigoureuze bewijsvoering om alle mogelijke uitzonderingen volledig uit te sluiten.

Kortom, ChatGPT babbelt na wat er stond en komt tot de conclusie dat het kan vriezen en dooien.