Puzzels
De tekening laat een vierkant zien van 4 bij 4 met daarin 4 cirkels met straal 1 die precies in het vierkant passen, en nog een zo groot mogelijke ingesloten cirkel S.
Dit idee kunnen we generaliseren en beschouwen in elke dimensie.
In
\(\mathbb{R}^n\)
hebben we zo \(2^n\)
bollen met straal 1 gelegen in de kubus \([-2,2]^n\)
.De centra van de bollen zijn de punten waarvan elke coordinaat 1 of -1 is (ga na!).
We beginnen met een triviaal stellingkje:
Toon aan dat de ingesloten bol S geheel binnen de kubus ligt.
Hoe bewijs je zo iets?
Bewijs:
Merk eerst op dat de afstand van een straal-1-bol tot het centrum
\(\sqrt{n}\)
is. Teken in gedachte een verbindingslijn tussen centrum straal-1-bol en oorsprong.
Vervolgens, daar een straal-1-bol straal 1 heeft, volgt voor de ingesloten bol S dat diens straal
\(\sqrt{n}-1\)
is.Wat krijgen we nu? Voor
\(n\ge 10\)
geldt \(\sqrt{n}-1>2\)
.Ja, inderdaad, voor dimensies groter dan 9 steekt de ingesloten bol S buiten de kubus. En het is nog veel erger, als
\(n\to \infty\)
zal de inhoud van het deel van S dat binnen de kubus ligt exponentieel naar 0 gaan, terwijl bol S gigantisch groot wordt.Onze intuitie laat ons in hogere dimensies in de steek. Merk op dat het centrum van zo'n straal-1-bol zich ver (afstand
\(\sqrt{n}\)
) van het centrum bevindt.Het is nu ook vanzelfsprekend geworden dat de inhoud van een eenheidsbol met toenemende n naar 0 gaat, immers zo'n bol ligt in een eenheidskubus waarvan de hoekpunten steeds verder van de oorsprong af vliegen.
De kleine inhoud van een eenheidbol is er ook de oorzaak van dat er in de zevende dimensie een heel dichte bolpakking bestaat, waarbij elke bol door tienduizenden bollen wordt omgeven. (bron niet kunnen vinden op het internet).
In de 24-ste dimensie kunnen 196.560 (disjuncte) eenheisbollen aan 1 eenheidsbol raken.
