Hoofdwaarde complexe wortel?

[Professor Puntje]

Wat is het symbool voor de hoofdwaarde van een wortel van een complex getal? En hoe is die hoofdwaarde precies gedefinieerd?

[mathfreak]

Daar is geen apart symbool voor, maar als je weet dat z = r⋅e^(φ+2kπ)i, met r = |z| en φ = arg z wordt √z gegeven door √z = √r⋅e^(½φ+kπ)i. De hoofdwaarde hiervan vind je door k = 0 te stellen.

[Professor Puntje]

Aha! De hoofdwaarde van de wortel volgt dus uit de hoofdwaarde van het argument?

Lastig dat er geen apart symbool voor die hoofdwaarde bestaat. Voor mijn topic over galoistheorie zou dat heel handig zijn...

[Professor Puntje]

Gevonden: https://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdwaarde

[tempelier]

Niets houd je tegen om zelf een teken voor de hoofdwaarde te bedenken.
Zo zijn veel van die notaties ontstaan.

[Professor Puntje]

Ah - word ik toch nog beroemd...

Voor de hoofdwaarde van de n-de machtswortel van een complex getal z schrijf ik vanaf nu: \( \sqrt[\underline{n}] z \)

Eens zien of dat opgepikt wordt...

[tempelier]

Er is wel een probleem.

Het begrip hoofdwaarde is niet altijd gedefinieerd.

[Professor Puntje]

Graag een voorbeeld! Dat zou wel heel vervelend zijn want ik heb al een flink stuk van mijn bewijsvoering in mijn topic over Galoistheorie op die hoofdwaarde gebaseerd.

[tempelier]

Ik kan je geruststellen denk ik.
In dat geval is die aanpassing niet nodig.

Het treed slechts op bij machten als:

\(i^{\sqrt{2}}\)

Er is dan geen argument dat het dichtste bij 0 zit.

[Professor Puntje]

Onder de hoofdwaarde Arg(z) van het argument van een complex getal z ≠ 0 verstaan we de unieke hoek φ waarvoor geldt:

\(\)

\( z = |z| e^{i \varphi} \,\,\,\,\, \& \,\,\, -\pi < \varphi \leq \pi \)

\(\)

Voor het gemak definieer ik ook nog dat Arg(0) = 0, zodat Arg(z) nu ook voor alle complexe getallen z gedefinieerd is.

Om verwarring tussen reële en complexe wortels te voorkomen heb ik op dit punt helaas nog weer een aanvullende extra notatie nodig voor de gebruikelijke reële n-de graadswortels (met n een positief natuurlijk getal). Onder de n-de graads reële wortel \( \underline{\sqrt[n] x} \) van een niet-negatief reëel getal x versta ik hier het unieke niet-negatieve reële getal y zodanig dat x = yⁿ .

De hoofdwaarde \( \sqrt[\underline{n}] z \, \) van de complexe wortel \( \sqrt[n] z \, \) van een complex getal \( z = | z | \, e^{i \mathrm{Arg}(z)} \) definieer ik dan uiteindelijk als het complexe getal:

\(\)

\( \underline{\sqrt[n]{| z |}} \,\, e^{i \frac{\mathrm{Arg}(z)}{n}} \)

Is dit zo nu wel waterdicht?

[tempelier]

Die definitie is niet voldoende.
Er kunnen immers meerdere argumenten op dat interval liggen.
Het heeft dus een uitbreiding nodig.

Maar het gaar om dit probleem:

Het argument van z heeft de algemene gedaante:

\(arg (z) = p + 2ki\sqrt{2}\)

[Professor Puntje]

Ik begrijp je bezwaar nog niet, \( i^{\sqrt{2}} \) is toch geen wortel?

[tempelier]

Een wortel is slecht een bijzonder geval van de macht ook is dit ,hoewel ongebruikelijk, toegestaan.

\(\Large \sqrt[\sqrt{2}]{{3i}}\)

Ook onder de reëel functies staat men dat toe immers:

\(f(x)=\sqrt[n]{n}\quad \text{met} \quad x>0\)

Wordt geaccepteerd als een continue functie.

[Professor Puntje]

De volgende generalisatie van de voor de wortel geïntroduceerde hoofdwaarde is (volgens mij) nog wel mogelijk:

Onder de hoofdwaarde Arg(z) van het argument van een complex getal z ≠ 0 verstaan we ook hier de unieke hoek φ waarvoor geldt:

\(\)

\( z = |z| e^{i \varphi} \,\,\,\,\, \& \,\,\, -\pi < \varphi \leq \pi \)

\(\)

Voor het gemak definieer ik ook nog dat Arg(0) = 0, zodat Arg(z) nu ook voor alle complexe getallen z gedefinieerd is. Dat blijft dus hetzelfde.

Om verwarring tussen reële en complexe machtsverheffing te voorkomen heb ik ook hier weer een aanvullende extra notatie nodig maar nu voor de gebruikelijke reële machtsverheffing. De gebruikelijke reële machtsverheffing van een niet-negatief reëel grondgetal x tot een reële exponent y noteer ik hier als: \( \left( x^y \right )_{\mathbb{R}} \) .

De hoofdwaarde \( z^{\underline{y}} \, \) van de macht \( z^y \, \) bestaande uit het complexe getal \( z = | z | \, e^{i \mathrm{Arg}(z)} \) (als grondtal) verheven tot het reële getal y (als exponent) definieer ik dan als het complexe getal:

\(\)

\( \left ( | z |^y \right )_{\mathbb{R}} \cdot e^{i y \mathrm{Arg}(z)} \)

[Professor Puntje]

Onder de n-de graads reële wortel \( \underline{\sqrt[n] x} \) van een niet-negatief reëel getal x versta ik hier het unieke niet-negatieve reële getal y zodanig dat x = yⁿ .

De hoofdwaarde \( \sqrt[\underline{n}] z \, \) van de complexe wortel \( \sqrt[n] z \, \) van een complex getal \( z = | z | \, e^{i \mathrm{Arg}(z)} \) definieer ik dan uiteindelijk als het complexe getal:

\(\)

\( \underline{\sqrt[n]{| z |}} \,\, e^{i \frac{\mathrm{Arg}(z)}{n}} \)

Bij nader inzien vind ik het eleganter om net als bij de reële macht ook voor de n-de graads reële wortel van een niet-negatief reëel getal x de notatie \( \left ( \sqrt[n] x \right )_{\mathbb{R}} \) te gebruiken.