kansberekening

[Kees_sciencetalk]

Een box bevat 27 zwarte ballen en 3 rode ballen. Een willekeurige set van 5 ballen wordt gepakt zonder ze terug te leggen. Wat is de kans dat er 1 rode tussen zit?

[Safe]

Een box bevat 27 zwarte ballen en 3 rode ballen. Een willekeurige set van 5 ballen wordt gepakt zonder ze terug te leggen. Wat is de kans dat er 1 rode tussen zit?

Wat heb je zelf bedacht ... , heb je al opgaven gemaakt die hierop lijken?

[Kees_sciencetalk]

Ik zou graag weten hoe ik dit op moet lossen. Hoe pak je dit aan? Bij de set van 5 ballen is niet bekend of je die rode bal eerst kiest of dat je hem als laatste kiest.

[drc.]

Volgorde maakt niet uit. Het gaat om het eindresultaat, de vijf ballen. Of je ze nu een voor een of alle vijf tegelijk pakt. Je kan aannemen dat je ze een voor een pakt. Laten we de kans uitrekenen dat geen rode tussen zit. Die kans kan je gebruiken voor als je precies een rode bal op minstens een rode bal pakt.

Laat ons weten als je tot hier niet volgt.

Wat is de kans dat de eerste bal niet rood (dus zwart is)?
Wat is de kans dat de tweede bal zwart is?
Wat is de kans dat de derde bal zwart is?
Wat is de kans dat de vierde bal zwart is?
Wat is de kans dat de vijfde bal zwart is?
Onthoud dat telkens als je een bal wegpakt de aantallen en daarmee de kans veranderd.

Hierna kunnen we nog wel naar andere manieren kijken om dat te bepalen.

[Kees_sciencetalk]

Hartelijk dank voor uw reactie, maar ik blijf nog met een klein probleem zitten. De kans wordt (bij een set van 5 zwarte ballen) 27/30 . 26/29 . 25/28 . 24/27 . 23/26. Maar ik kan het niet uitrekenen met die ene rode bal.
Graag een goede suggestie

[Safe]

Ik zou graag weten hoe ik dit op moet lossen. Hoe pak je dit aan? Bij de set van 5 ballen is niet bekend of je die rode bal eerst kiest of dat je hem als laatste kiest.

Ik vroeg ook of je al eerder zulke opgaven hebt moeten maken ...
Ken je combinaties in dit verband? Zo ja, wat betekent bv:

\({8\choose 3}\)

[drc.]

Hartelijk dank voor uw reactie, maar ik blijf nog met een klein probleem zitten. De kans wordt (bij een set van 5 zwarte ballen) 27/30 . 26/29 . 25/28 . 24/27 . 23/26. Maar ik kan het niet uitrekenen met die ene rode bal.

Juist. p(0 rode ballen) + p(minstens een rode bal) = 1. Toch? Wat weet je nu over de kans op minstens een rode bal?

Gaat het om precies een rode bal of minstens een rode bal?

[Kees_sciencetalk]

Antwoord op de vraag van SaveX: in het verre verleden heb ik wel eens van die opgaven gemaakt maar dat is ver weggezakt. Volgens mij is de berekening dan 8!/3!.5! Ik heb geen idee hoe ik met deze faculteiten het probleem van een set van 5 ballen waarvan er 4 zwart zijn en 1 rood uit een verzameling van 27 zwarte en 3 rode ballen kan oplossen.

Antwoord op de vraag van David: het gaat om precies 1 rode bal en 4 zwarte ballen.

[drc.]

Okay. Voor precies een rode bal is combinatoriek een goede manier.
Een manier om dit te doen, meer rekenen maar/dus een goede oefening is 1 - p(0, 2 of 3 rode ballen) te bepalen. De kans op 0 rode ballen weet je al.

Andere manier is om "direct" de kans op precies een rode bal te bepalen.
Stel, de eerste bal die je trekt is een rode bal, de andere 4 een zwarte.
dan de kans dat de tweede bal die je trekt een rode is, de andere 4 een zwarte en hetzelfde voor als de rode bal de derde, vierde en vijfde bal is die je trekt en de andere ballen telkens zwart zijn.

Ga na dat al die kansen gelijk zijn. In plaats van elke kans apart zo uit te rekenen had je ook één zo'n kans kunnen vermenigvuldigen met 5.
Waarom 5? Als je dit snapt kunnen we eens kijken naar combinatoriek.

[Safe]

Antwoord op de vraag van SaveX: in het verre verleden heb ik wel eens van die opgaven gemaakt maar dat is ver weggezakt. Volgens mij is de berekening dan 8!/3!.5! Ik heb geen idee hoe ik met deze faculteiten het probleem van een set van 5 ballen waarvan er 4 zwart zijn en 1 rood uit een verzameling van 27 zwarte en 3 rode ballen kan oplossen.

Ok, dit is nl in de wiskunde een vaasmodel en zodra je zonder teruglegging trekt altijd op te lossen met combinaties.
8 boven 3 in notatie:

\({8\choose 3}\)

betekent dan het aantal mogelijkheden van 3 elementen uit een verzameling van 8 elementen zonder teruglegging, er is dan ook geen volgorde!

Je hebt een box met 30 ballen, 27 zwart en 3 rood, trekking 5 ballen.
1. Wat is het aantal mogelijkheden om 5 ballen te kiezen uit deze box?
2. idem om 4 ballen te trekken uit 27
3. idem om 1 bal te kiezen uit 3.

Wat is dan de kans die je zoekt? Noteer dat met combinaties zonder uit te rekenen ...

[Kees_sciencetalk]

David en SafeX heel hartelijk dank. Ik ben er uit.

[Safe]

Laat eens zien ...

Overigens verbaast me je vraag, "in het verre verleden" ...
En nu dan weer dit soort problemen?