Onopgeloste problemen

[scoop]

Ik had een vraagje over onopgeloste problemen in de wiskunde

Ik zit nog niet op een niveau om die problemen goed te begrijpen

Maar mijn vraag was, als zo'n vermoeden wordt bewezen

is dat voor cruciaal belang voor de ontwikkeling van de wiskunde, natuurkunde etc.

leidt dit bijvooorbeeld tot nieuwe vakgebieden etc?



Verder is dit natuurlijk een leuke mogelijkheid om over deze problemen te praten

[TD]

Dat is sterk afhankelijk van het onopgeloste probleem. Sommige hebben weinig tot geen verdere gevolgen (voor zover we dat nu kunnen inschatten), andere kunnen dan weer leiden tot vooruitgang in andere deelgebieden enz.

[Klintersaas]

Ik treed TD bij in zijn mening. Zo zal het vermoeden van Goldbach (dat naar mijn mening niet zoveel belang heeft) als het ooit opgelost geraakt (wat eigenlijk bijna onmogelijk is omdat er oneindig veel even getallen groter dan 2 zijn) niet zoveel impact hebben op de andere wetenschappelijke vakgebieden.

Degene die een oplossing weet te vinden voor de Navier-Stokes vergelijkingen kan zich daarentegen verwachten aan $ 1 000 000 en een Abelprijs met een dikke gouden rand. Of de oplossing aanleiding zal geven tot een nieuw vakgebied weet ik niet, maar toepassingen zijn er genoeg.

Dezelfde $ 1 000 000 zijn er voor de oplosser van één van de andere 6 Millenniumprijsproblemen:

• het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer
• het vermoeden van Hodge
• het vermoeden van Poincaré (dit zou bewezen zijn door de Russische wiskundige Grigori Perelman)
• de hypothese van Riemann
• de theorie van Yang-Mills
• het P versus NP probleem

Als iemand zich geroepen voelt: hier staan de regels.

[dens]

Volgens mij is natuurkunde een vakgebied dat eerst deel uitmaakte van de wiskunde, maar sinds "kort" een geheel eigen gebied.

[TD]

Zo zal het vermoeden van Goldbach (dat naar mijn mening niet zoveel belang heeft) als het ooit opgelost geraakt (wat eigenlijk bijna onmogelijk is omdat er oneindig veel even getallen groter dan 2 zijn)

Het is niet per se omdat er oneindig veel zijn, dat je dit bijna onmogelijk kan bewijzen. Er zijn ook oneindig veel priemgetallen en toch weten we dat de som van 1/p_i met p_i alle priemgetallen divergeert: zonder dat we al die priemgetallen kennen!

[eendavid]

Volgens mij is natuurkunde een vakgebied dat eerst deel uitmaakte van de wiskunde, maar sinds "kort" een geheel eigen gebied.

Over dergelijke verbanden, robbert dijkgraaf, zie hier.

In feite is het Newton die het deductieve van de wiskunde verbond aan de natuur zoals ze zich aan ons voordoet.

Inderdaad, sommige zaken zouden een grote impact hebben op niet-wiskundige gebieden, sommige minder. Om nu te zeggen dat er nieuwe gebieden zouden ontstaan is wat vergaand. Op oplossingen van de Navier-Stokesvergelijkingen wordt momenteel voornamelijk gewerkt via simulaties (ik betwijfel of wiskundigen langdurig deze vraagstelling als actieve onderzoeksvraag gebruiken), op Yang-Millstheorie in zijn algemeenheid wordt sowieso veel gewerkt momenteel. Voor de Navier-Stokesvergelijking hangt het natuurlijk af van de methode van het bewijs, maar allicht zou het een existentiebewijs zijn, waar fysici weinig mee zijn (de wiskundige zegt: de oplossing bestaat, de natuurkundige wil ze krijgen)

De wiskundige kant van de natuurkunde kan dus wel erg belangrijk, interessant en uitdagend zijn. De vraag is natuurlijk, wanneer noem je het een onopgelost probleem in wiskunde, en wanneer één in fysica? De vraagstelling bij Yang-Mills bijvoorbeeld is typisch iets waar een (wiskundig) natuurkundige zich mee kan bezighouden.

[A.Square]

In het bewijs van de stelling van Fermat (gegeven door Wiles in 1995) zit veel nieuwe wiskunde. Nog belangrijker: hij heeft bekende wiskunde op de meeste exotische manieren aan elkaar gekoppeld.

Zoiets geeft nieuwe inzichten en is dus zinvol.

Bovendien mag een stelling gebruikt worden nadat ze is bewezen. En dat kan voor eenvoudige stellingen als het P-NP probleem en de stelling van Fermat erg zinnig zijn.

[Pongping]

Als informaticus wil ik toch mijn woordje zeggen over het P= (of !=)NP. Want als iemand bewijst dat P=NP (door een goed algoritme te vinden voor een NP-compleet probleem), is onze hele digitale beveiligingssysteem om zeep. Die gaan er namelijk van uit dat voor bijvoorbeeld het ontbinden van een getal in priemgetallen, er geen polynomiaal algoritme bestaat (i.e een goed algoritme). Maar als blijkt dat P=NP, wil dat zeggen dat er voor elk probleem een goed algoritme bestaat! Dus ipv 10000 jaar zou je eigen computer dan 2 seconden nodig hebben om een 512-bit versleuteling te kraken. Dat probleem is dus niet alleen van belang voor de wetenschap maar ook voor het dagelijks leven omdat het zoveel in de praktijk wordt gebruikt.