Statica: berekening krachten

[Geoffrey]

Dag allemaal,

ik zit vast met een oefening over statica. Hier onder staat een schets van de situatie:



Dit systeem staat volledig in rust. Alle onderdelen zijn massaloos. De punten A, B, C en E zijn scharnieren. Punt D is een steunpunt en punt F is een katrol. De massa van 400kg hangt via een koord over de katrol vast aan de verticale balk.

Gevraagd is alle krachten te berekenen (scharnieren hebben 2 componenten, het steunpunt maar 1 component).

Als ik de krachten bereken, kom ik bijna alles uit zoals het bij de oplossingen staat, maar er zijn er toch een paar die niet uitkomen. Ik kan de uitkomsten wel forceren door op bepaalde plaatsen min in plus te veranderen, maar dat kan niet de bedoeling zijn.

Hieronder mijn uitwerking van het probleem.







Het probleem stelt zich dus bij de krachten Ay, Dx en Ax (hier heb ik de tekens als veranderd om het te doen uitkomen).

Ziet iemand mijn fout?

op voorhand bedankt

[bessie]

Ik vind de plaatjes onmogelijk om te bekijken. Ik wil voorstellen om stap voor stap met je door de oplossing te gaan, ik maak de figuren en geef de krachten aan en jij berekent ze, OK?

Als eerste vervang ik het touw door de krachten die het uitoefent. Hoe groot is Fs.

naamloos 1845 keer bekeken

[oktagon]

FF meedoen:

Het lijkt me dat F_s door het in mijn ogen afgebeelde enkelvoudige katrolsysteem ook 400 kg is;een ander verhaal is de optredende krachten in de diverse stangen!

En er wordt toch wel ergens aan die kabel gehesen;staat ook los van de staafconstructie nmm.

[Geoffrey]

Er wordt nergens aan de kabel gehesen, het volledige systeem beweegt niet. De bedoeling is dan om in alle aangeduide punten de krachten te bepalen.

Aangezien punt F geen translatie ondervindt, moet de som van de verticale/horizontale krachten 0 worden.

\(F_{s} = 400 kg \cdot 9,81 \frac{N}{kg} = 3,92 kN\)

Dit betekent dat in punt F er een kracht van 3,92 kN naar boven wijst en ook een kracht van 3,92 kN naar rechts.

Met deze krachten kunnen we verder werken in het "L-stuk". Dat onderdeel beweegt niet (noch translatie, noch rotatie) en ondervindt in totaal 2 krachten (in punt E en punt C) . Gevolg daarvan is dat de krachten die in punt E en C aangrijpen in elkaars verlengde moeten liggen, tegengestelde zin hebben en qua grootte gelijk zijn aan elkaar.

Dus:

\(|E_{x}| = |C_{x}|\)

en

\(|E_{y}| = |C_{y}|\)

Het feit dat deze L-vorm geen rotatie ondervindt, geeft een verband tussen

\(|E_{x}|\)

en

\(|E_{y}|\)

:

Bekijk de momenten voor het punt G:

\(\Sum M_{G} = 0 => -1,5E_{x}+3C_{y} = 0 => E_{x} = 2C_{y}\)

Als we daarna de horizontale balk bekijken en eisen dat daar ook geen rotatie is rond het punt E:

\(\Sum M_{E} = 0 => -3B_{y}+2F_{y} = 0 => B_{y} = \frac{2}{3}F_{y} = 2,62 kN\)

Ook is er geen rotatie rond punt B:

\(\Sum M_{B} = 0 => 3E_{y}+5F_{y} = 0 => E_{y} = \frac{-5}{3}F_{y} = -6,54 kN\)

Deze waarden geven ook ook de volgende krachten:

\(C_{y} = E_{y} = -6,54 kN\)

\(E_{x} = 2C_{y} = -13,08 kN\)

\(C_{x} = E_{x} = -13,08 kN\)

Ik zal hier even stoppen met mijn uitwerking.

[oktagon]

Doet het aangrijppunt van de trekkracht F_s,dat boven scharnier B is gelegen in dit statische geheel,ook nog mee,ik zie dit nog niet in de berekening opgenomen.Maar je was nog niet klaar ermee?!

[Geoffrey]

@oktagon: ja, dat punt doet ook mee, maar heeft alleen invloed op de rotatie van de verticale balk.

Ik zal even verder gaan met mijn uitwerking:

Omdat de horizontale balk geen translatie ondervindt, moet de som van de horizontale krachten 0 zijn:

\(B_{x} + E_{x} + F_{x} = 0 => B_{x} = -E_{x}-F_{x} = 9,16 kN\)

Nu kunnen we overgaan naar de verticale balk:

De balk ondervindt geen rotatie, dus de som van de momenten in punt A moet 0 zijn:

\(\Sum M_{A} = 0 => 1,5F_{s} + 2B_{x} - 3,5C_{x} + 5D_{x} = 0\)

\(=> 5D_{x} = 3,5C_{x}-2B_{x}-1,5F_{s} = -45,78 kN - 18,31 kN - 5,89 kN = -69,98 kN\)

\(=> D_{x} = -14 kN\)

Hier loopt het een eerste keer fout: de oplossing van de cursus zegt dat

\(|D_{x}| = 4,32 kN\)

. Door te spelen met de mintekens kan ik wel aan het antwoord geraken:

\(=> 5D_{x} = 3,5C_{x}+2B_{x}+1,5F_{s} = -45,78 kN + 18,31 kN + 5,89 kN = -21,58 kN => D_{x} = -4,32 kN\)

De verticale balk ondergaat ook geen translatie (horizontaal):

\(A_{x} + F_{s} + B_{x} - C_{x} + D_{x} = 0 => A_{x} = -F_{x} - B_{x} + C_{x} - D_{x}\)

\(=> A_{x} = -3,92 kN - 9,16 kN -13,08 kN +4,32 kN = -21,84 kN\)

Ook hier komt het antwoord niet overeen met dat van de cursus: het zou 4,32 kN moeten zijn. Als de 13,08 kN een ander teken zou hebben, dan zou het wel uitkomen.

Tenslotte ondergaat de verticale balk ook geen verticale translatie:

\(A_{y} + B_{y} - C_{y} = 0 => A_{y} = -B_{y} + C_{y} = - 2,62 kN -6,54 kN = -9,16 kN\)

Ook dit is niet juist, want volgens de cursus zou

\( |A_{y}| = 3,92 kN\)

moeten zijn.

Het probleem zit dus ergens bij de + en - tekens, want de grootte van andere krachten is wel correct.

[oktagon]

Waar haal je de volgende veronderstelling vandaan:

Omdat de horizontale balk geen translatie ondervindt, moet de som van de horizontale krachten 0 zijn:

Er is een belasting van 100

\(\sqrt(2)\)

onder 45 graden op F,dat betekent een drukbeweging naar links-onder en dus een translatie naar onder en naar links.

[Geoffrey]

Waar haal je de volgende veronderstelling vandaan:

Omdat de horizontale balk geen translatie ondervindt, moet de som van de horizontale krachten 0 zijn:

Er is een belasting van 100

\(\sqrt(2)\)

onder 45 graden op F,dat betekent een drukbeweging naar links-onder en dus een translatie naar onder en naar links.

Omdat alles in evenwicht is, mag er netto gezien toch geen kracht inwerken op de horizontale balk? De krachten die in punt F inwerken, moeten daardoor toch gecompenseerd worden door de krachten in de punten B en E?

[oktagon]

Ik heb een schema getekend en ga eens rekenen op mijn manier;

als ik de constructie globaal bekijk en dan speciaal de verticaal AD,dan zijn de verticale reactiekrachten van A,B en C samen 400 kg en die van D =0.

De horizontalen: A en B zijn nmm trekkrachten,met een reactie naar links,B en D zijn drukkrachten met een drukreactie naar rechts.

Nb. Je moet niet goochelen met tekens,want dan ga je de fout in en snap je nooit wat je aan het doen ben;je moet de systemen van rekenen door krijgen.

Ik ga in kg rekenen,is eenvoudiger en werk de antwoorden wel om in Newtons.

[bessie]

M.i. is je fout, dat je direct de horizontale staaf beschouwt. Je kan beter direct de reactiekrachten in de ophangingen B en C berekenen. Stel gewoon dat de ophangingen krachten Bx, By, Cx en Cy uitoefenen op het stel staven waar de katrol F mee wordt vastgehouden. Alle krachten positief gerekend naar rechts en naar boven. Je krijgt de vergelijkingen

By+Cy=Fs

Bx+Cx=Fs

1,5Cx-5Fs=0 (om pt. B)

Je hebt nog één verg nodig en dat kan, want om pt E. moet momentenevenwicht zijn in de hoekstaaf, dus

3Cy-1,5Cx=0

Hieruit volgen Bx=-7/3Fs(trekkracht), By=-2/3Fs (dus naar beneden ipv naar boven), Cx=10/3F, Cy=5/3Fs. De krachten in C zijn beide naar boven en rechts gericht. In de hoekstaaf is dus een drukkracht. Cx en Cy werken op gelijke wijze op de horizontale staaf AF. De staaf AF geeft krachten -Cx en -Cy op de hoekstaaf. Het zijn verbindingskrachten.

Nu heb je alle krachten die op de ophanging boven en onder voor de hele constructie werken. In de onderste ophanging is alleen een horizontale kracht. Ik neem aan dat bovenstaande klopt en dat het nu lukt om alle krachen uit te werken. OK?

[oktagon]

De start van dit vraagstuk had je ook kunnen beginnen door de

\(\sum\)

Momenten= 0 tov. scharnier A te nemen.Je houdt dan als de enige component over de D_x.Ik ga ervan uit dat dit een naar links draaiende kracht is en dat blijkt correct volgens de M-berekening!

Zie: F₂*( 1.5+5) -5*D_x=0 ----> 400kg* 7 m= 5*D_xkgm----> D_x= 560 kg

Aangezien alleen het scharnier A een verticale kracht A_y opneemt is die dus gelijk aan f₂= 400 kg

Vanuit steunpunt D kun je dan A_x berekenen dat dan resulteert in 5A_x= f₂* (5.50-3.50)kgm en wordt A_x = 160kg.

In een krachtenfiguur kun je als een Cremona-diagram de staafkrachten tekenen ,grafisch bepalen,dan wel uitrekenen

Maar ook zonder een Cremona kun je makkelijker de staafkrachten berekenen,nl. door vervolgens de

\(\sum Momenten \)

C en daarna in D.

Ben benieuw wat jullie uitkomsten worden.

[Geoffrey]

@ oktagon: ff melden dat ik zelf nooit dergelijke berekeningen heb uitgevoerd. Ik wou gewoon een kennis helpen met deze opgave. Van een cremona-diagram heb ik dus ook nog nooit gehoord (ben van opleiding fysicus, geen ingenieur).

@ Bessie: jouw uitleg kan ik het beste volgen met fysica-kennis. Even overlopen of mijn redeneringen bij de tussenstappen correct zijn.

Jouw berekening begint door het systeem zonder de verticale balk te beschouwen. Omwille van de massa zijn er in punt F 2 krachtcomponenten: eentje naar beneden en eentje naar links, beide met grootte Fs. Netto betekent dat een kracht naar linksonder (tov. punt F).

Omdat het beschouwde systeem noch een horizontale, noch een verticale translatie ondergaat hebben we volgende vergelijkingen (de krachten in punt E nemen niet deel aan deze beweging, want het systeem kan geen kracht uitoefenen op zichzelf):

\( B_{x}+C_{x}-F_{s} = 0 \)

(horizontale component)

\( B_{y}+C_{y}-F_{s} = 0 \)

(verticale component)

Het beschouwde systeem mag vervolgens ook niet roteren rond B (ook hier neemt punt E niet deel):

\( 1.5C_{x}-5F_{s} = 0 \)

Vervolgens bekijk je alleen de "L"-vorm. Deze mag geen rotatie rond E hebben:

\( -3C_{y}+1.5C_{x}= 0 \)

Die 4 vergelijkingen geven dan de waarden uit jouw bericht.

Omdat de "L"-vorm 1 voorwerp is, worden de krachten die in punt C aangrijpen, overgebracht op punt E (wel met een min-teken owv reactiekracht):

\( C_{x}=-E_{x} \)

\( C_{y}=-E_{y} \)

Daarna schakel ik over op oktagon zijn werkwijze: globaal gezien zijn er maar 2 verticale krachten die op het systeem inwerken (

\(B_{y}\)

en

\(C_{y}\)

doen niet mee, want krachten zijn intern), waardoor

\(A_{y}\)

het effect van

\(F_{s}\)

in punt F moet opheffen =>

\(|A_{y}|\)

=

\(|F_{s}|\)

, en naar boven gericht.

Wat oktagon daarna zegt over de momenten, daar kan ik wel volgen, maar het resultaat komt niet overeen met het antwoord uit de cursus.

[bessie]

Je kunt de krachten in de ophangpunten B en C inderdaad na berekening verder weglaten uit de berekening van die in A en D. Op dat moment kun je het gehele geval als één onderdeel beschouwen. De verticale kracht in A moet dan inderdaad gelijk zijn aan Fs, want in D kun je alleen horizontale krachten krijgen (schuifophanging). Uit momenten volgen dan de horizontale krachten. Want om punt A oefent de horizontale reactiekracht in D een moment uit van

D.5 tegen de klok in. Dit moet gelijk zijn aan 5,5.1400Kg.9.81, dus Dx=1349 N. Dus ook Ax is 1349, maar dan naar links.

Klopt dit met de uitkomsten in het boek?

Even voor de perfectie: je spreekt niet over al of geen translatie, je spreekt over krachten- of momentenevenwicht. Maak daarbij duidelijke afspraak. Ik deed het in mijn laatste alinea hierboven even snel, omdat het een eenvoudige situatie was, maar als er meer krachten spelen maak dan even een compleet overzicht.

[bessie]

Edit, het is natuurlijk geen 1400 maar 400 Kg, dus Dx en Ax worden beide 400.5,5/5.9.81=4320 N.

Ay blijft gewoon 400.9,81 N opwaarts. De uitkomsten kloppen nu volgens mij allemaal.

[Geoffrey]

@ Bessie: de antwoorden komen overeen met hetgeen in de cursus staat. Ik heb echter nog 1 vraag: Bij de berekening van Dx gebruik je de verticale component van de kracht in F. Waarom gebruik je daar de horizontale component van de kracht niet? Deze kracht ligt toch niet in het verlengde van de verbindingsvector tussen punt A en punt F. Als ik naar oktagon zijn bericht kijk, dan zie ik dat hij die horizontale kracht wel meeneemt.

Voor de rest is alles heel duidelijk. Heel erg bedankt!